Pola czworokątów

Wyobraź sobie remont pokoju. Aby kupić panele, musisz znać powierzchnię podłogi. Jeśli ma kształt prostokąta, sprawa jest prosta, ale przy trapezie lub rombie potrzebujesz innego wzoru.

Konkret: powierzchnia złożona z prostszych figur

Pole czworokąta mówi, ile miejsca zajmuje figura. Wiele czworokątów można przeciąć przekątną na dwa trójkąty, dlatego wzory na ich pola wynikają często z pola trójkąta albo prostokąta.

Reprezentacja: najważniejsze wzory

Kwadrat

P=a²

Jeżeli znamy przekątną d, możemy użyć wzoru P=d²/2.

Prostokąt

P=a·b

Równoległobok

P=a·h_a

Można też użyć wzoru P=a·b·sin α, gdzie α jest kątem między bokami a i b.

Romb

P=a·h

Z przekątnych: P=e·f/2.

Z boku i kąta: P=a²·sin α.

Trapez

P=(a+b)·h/2

a i b są podstawami, a h wysokością.

Deltoid

P=e·f/2

e i f oznaczają długości przekątnych.

Abstrakcja: jak dobrać wzór

• Masz długości dwóch prostopadłych boków prostokąta: P=a·b.
• Masz podstawę i odpowiadającą jej wysokość równoległoboku: P=a·h.
• Masz podstawy i wysokość trapezu: P=(a+b)·h/2.
• Masz przekątne rombu lub deltoidu: P=e·f/2.
• Masz bok i kąt rombu: P=a²·sin α.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim F-D-W: Figurę rozpoznaj, Dane zaznacz, Wzór dopasuj. W pałacu pamięci wchodzisz do galerii czworokątów. Prostokąt układa kafelki w rzędy a razy b, równoległobok przesuwa bok po wysokości jak ruchoma platforma, trapez łapie dwie podstawy a i b do jednego worka, dodaje je i przecina wielkim łabędziem-2. Romb przecina się dwiema świecącymi przekątnymi, które mnożą się i także wpadają pod skrzydło łabędzia-2.

Przykład krok po kroku: prostokąt

Prostokąt ma boki długości 8 cm i 5 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Wybierz wzór P=a·b.
• Krok 2: Podstaw dane: P=8·5.
• Krok 3: P=40.
• Krok 4: Zapisz jednostkę: P=40 cm².

Przykład krok po kroku: trapez

Podstawy trapezu mają długości 10 cm i 6 cm, a wysokość 4 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Zapisz wzór P=(a+b)·h/2.
• Krok 2: P=(10+6)·4/2.
• Krok 3: P=16·4/2=64/2.
• Krok 4: P=32 cm².

Przykład krok po kroku: romb z przekątnych

Przekątne rombu mają długości 12 cm i 8 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Użyj wzoru P=e·f/2.
• Krok 2: P=12·8/2.
• Krok 3: P=96/2=48.
• Krok 4: P=48 cm².

Przykład krok po kroku: równoległobok z kątem

Boki równoległoboku mają długości 7 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.

• Krok 1: Użyj wzoru P=a·b·sin α.
• Krok 2: P=7·10·sin 30°.
• Krok 3: sin 30°=1/2.
• Krok 4: P=70·1/2=35 cm².

Przykład krok po kroku: kwadrat z przekątnej

Przekątna kwadratu ma długość 6√2 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Użyj wzoru P=d²/2.
• Krok 2: P=(6√2)²/2.
• Krok 3: (6√2)²=36·2=72.
• Krok 4: P=72/2=36 cm².

Najczęstsze błędy

• Mylenie obwodu z polem.
• Pomijanie dzielenia przez 2 we wzorze na trapez, romb lub deltoid z przekątnych.
• Używanie boku skośnego zamiast wysokości.
• Podstawianie niewłaściwego kąta do wzoru z sinusem.
• Zapisywanie jednostek liniowych zamiast kwadratowych.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy użyta wysokość jest prostopadła do podstawy.
• Upewnij się, że jednostka wyniku jest kwadratowa.
• W trapezie pole powinno być równe średniej arytmetycznej podstaw pomnożonej przez wysokość.
• W rombie i deltoidzie sprawdź, czy obie przekątne zostały pomnożone i wynik podzielony przez 2.
• Porównaj wielkość wyniku z prostokątem obejmującym figurę — pole nie powinno być od niego większe.

Najczęstsze pytania