Twierdzenie Pitagorasa

Wyobraź sobie drabinę opartą o ścianę. Ściana, podłoga i drabina tworzą trójkąt prostokątny. Jeśli znasz wysokość oraz odległość podstawy drabiny od ściany, możesz obliczyć jej długość bez dotykania jej miarką.

Konkret: trzy kwadraty na bokach

Narysuj trójkąt prostokątny i zbuduj na każdym jego boku kwadrat. Pole największego kwadratu, zbudowanego na przeciwprostokątnej, jest równe sumie pól dwóch mniejszych kwadratów.

• Przyprostokątne tworzą kąt prosty.
• Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta 90°.
• Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem.

Reprezentacja: zapis zależności

Jeżeli przyprostokątne mają długości a i b, a przeciwprostokątna ma długość c, to:

a²+b²=c²

Wzór działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym.

Abstrakcja: jak obliczać brakujący bok

• Gdy szukasz przeciwprostokątnej: c=√(a²+b²).
• Gdy szukasz przyprostokątnej: a=√(c²-b²).
• Zawsze najpierw wskaż przeciwprostokątną.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-K-P: Przeciwprostokątną znajdź, Kwadraty policz, Pierwiastek wyciągnij. W pałacu pamięci dwa małe kwadraty na kanapie eksplodują kostkami liczbowymi, które lecą do gigantycznego kwadratu na drzwiach. Drzwi otwierają się dopiero wtedy, gdy suma dwóch małych pól dokładnie pasuje do pola dużego. To obraz równania a²+b²=c².

Przykład krok po kroku: szukamy przeciwprostokątnej

Przyprostokątne mają długości 6 i 8. Oblicz przeciwprostokątną.

• Krok 1: Zapisz wzór: 6²+8²=c².
• Krok 2: Oblicz kwadraty: 36+64=c².
• Krok 3: 100=c².
• Krok 4: c=√100=10.
• Krok 5: Sprawdzenie: 10 jest dłuższe od 6 i 8.

Przykład krok po kroku: szukamy przyprostokątnej

Przeciwprostokątna ma długość 13, a jedna przyprostokątna 5. Oblicz drugą.

• Krok 1: 5²+b²=13².
• Krok 2: 25+b²=169.
• Krok 3: b²=144.
• Krok 4: b=12.

Przykład krok po kroku: przekątna prostokąta

Prostokąt ma boki 9 cm i 12 cm. Oblicz jego przekątną.

• Krok 1: Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne.
• Krok 2: d²=9²+12².
• Krok 3: d²=81+144=225.
• Krok 4: d=15 cm.

Przykład krok po kroku: zadanie tekstowe

Drabina stoi 3 m od ściany i sięga na wysokość 4 m. Jaką ma długość?

• Krok 1: Podłoga i ściana tworzą kąt prosty.
• Krok 2: Drabina jest przeciwprostokątną.
• Krok 3: c²=3²+4²=9+16=25.
• Krok 4: c=5 m.

Trójki pitagorejskie

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 7, 24, 25

Ich wielokrotności także tworzą trójkąty prostokątne, na przykład 6, 8, 10.

Odwrotność twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli dla trzech boków, z których c jest najdłuższy, zachodzi a²+b²=c², to trójkąt jest prostokątny.

Najczęstsze błędy

• Uznanie dowolnego boku za c zamiast najdłuższego.
• Dodawanie długości zamiast ich kwadratów.
• Odejmowanie przy obliczaniu przeciwprostokątnej.
• Zapominanie o pierwiastku na końcu.
• Stosowanie twierdzenia do trójkąta, który nie jest prostokątny.

Kontrola wyniku

• Przeciwprostokątna musi być najdłuższa.
• Wynik długości musi być dodatni.
• Po podniesieniu wyniku do kwadratu równanie powinno się zgadzać.
• W zadaniu tekstowym sprawdź jednostkę.

Najczęstsze pytania