Twierdzenie Pitagorasa łączy długości boków wyłącznie w trójkącie prostokątnym i pozwala obliczyć brakującą długość.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przyprostokątne tworzą kąt prosty. Przeciwprostokątna leży naprzeciw niego i jest najdłuższa. Obrócenie rysunku nie zmienia roli boków. Literę \(c\) przypisujemy właśnie przeciwprostokątnej, a nie dowolnej długości.
Zapis \(a^2\) oznacza \(a\cdot a\), nie \(2a\). Geometrycznie jest polem kwadratu o boku \(a\). Twierdzenie Pitagorasa porównuje pola kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta. Aby obliczyć długość, po wyznaczeniu jej kwadratu trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek. Wybieramy dodatnią wartość, ponieważ długość boku jest dodatnia.
Zasady i wzory
Jeżeli \(a,b\) są przyprostokątnymi, a \(c\) przeciwprostokątną, to suma pól kwadratów na przyprostokątnych równa się polu kwadratu na przeciwprostokątnej.
- Najpierw wskaż bok naprzeciw kąta prostego.
- Przy obliczaniu przyprostokątnej odejmujemy kwadraty.
- Długość jest dodatnim pierwiastkiem.
Wzór działa tylko wtedy, gdy kąt między bokami a i b jest prosty.
Jak czytać rysunek?
Kwadracik wskazuje kąt prosty. Po obu jego stronach leżą przyprostokątne \(a,b\); ukośny bok \(c\) jest naprzeciw. Przy szukaniu \(c\) dodajemy kwadraty: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Gdy szukamy \(b\), odejmujemy: \(b=\sqrt{c^2-a^2}\). Inne litery w zadaniu nie zmieniają zasady.
Przykład krok po kroku
Przyprostokątne mają długości 9 i 12. Oblicz przeciwprostokątną.
- Podstaw do twierdzenia.\(c^2=9^2+12^2\)
- Oblicz sumę kwadratów.\(c^2=81+144=225\)
- Wyciągnij dodatni pierwiastek.\(c=15\)
Typowy błąd
Nie wolno dowolnie przypisać litery c.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przeciwprostokątna \(13\) i przyprostokątna \(5\) dają \(b^2=169-25=144\), więc \(b=12\). Natomiast przyprostokątne \(1,2\) dają \(c=\sqrt5\). Wynik z pierwiastkiem jest poprawną dokładną odpowiedzią.
Szukaj kąta prostego również w prostokącie przeciętym przekątną albo przy wysokości trójkąta. Prostokąt z przekątną \(13\) i bokiem \(12\) ma drugi bok \(5\), a pole \(60\). Pamiętaj, czego dotyczy pytanie. Nie rozdzielaj pierwiastka sumy: \(\sqrt{9^2+12^2}=15\), a nie \(21\).