Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa rozstrzyga, czy trójkąt o znanych bokach jest prostokątny.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zwykłe twierdzenie Pitagorasa zaczyna się od kąta prostego i prowadzi do równości kwadratów. Odwrotne zaczyna od znanych długości i pozwala dopiero udowodnić kąt prosty. Nie zaznaczaj go jako danej, zanim skończysz sprawdzenie.
Uporządkuj dodatnie długości tak, aby \(a\leq b\leq c\). Największy bok \(c\) występuje sam po prawej stronie testu. Najpierw sprawdź jednak \(a+b\gt c\). Jeżeli ten warunek nie zachodzi, odcinki nie tworzą trójkąta i nie klasyfikujemy go jako ostrego lub rozwartego.
Zasady i wzory
Po uporządkowaniu boków \(a\le b\lt c\) sprawdzamy, czy \(a^2+b^2=c^2\). Równość oznacza kąt prosty naprzeciw najdłuższego boku.
- Najpierw sprawdź, czy długości tworzą trójkąt.
- Po stronie \(c^2\) umieść najdłuższy bok.
- Gdy suma kwadratów jest większa od \(c^2\), trójkąt jest ostrokątny; gdy mniejsza — rozwartokątny.
Zakładamy, że c jest najdłuższym bokiem.
Jak czytać rysunek?
Najdłuższy bok jest na każdym rysunku podstawą. Dla \(5,6,7\) mamy \(25+36=61\gt49\), więc trójkąt jest ostrokątny. Dla \(5,12,13\) zachodzi \(25+144=169\), co dowodzi prostokątności. Dla \(6,8,11\) jest \(36+64=100\lt121\), więc trójkąt jest rozwartokątny.
Przykład krok po kroku
Sprawdź trójkąt o bokach 7, 24 i 25.
- Wskaż najdłuższy bok.\(c=25\)
- Policz obie strony.\(7^2+24^2=49+576=625\)
- Porównaj z kwadratem c.\(25^2=625\;\Rightarrow\;\text{trójkąt prostokątny}\)
Typowy błąd
Losowa kolejność boków może prowadzić do fałszywego wniosku.
Dodatkowy przykład i kontrola
Pełny test wynika z twierdzenia cosinusów: \(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). Mianownik jest dodatni, a znak licznika określa rodzaj największego kąta. Dodatni cosinus oznacza kąt ostry, zero prosty, ujemny rozwarty.
Nieprawdziwa równość Pitagorasa nie oznacza automatycznie rozwartokątności. Trzeba odczytać kierunek nierówności. Odcinki \(1,2,3\) spełniają \(1^2+2^2\lt3^2\), lecz nie tworzą trójkąta, bo \(1+2=3\). Ten przykład pokazuje, dlaczego sprawdzenie istnienia figury poprzedza porównywanie kwadratów.