Podobne trójkąty mają ten sam kształt: odpowiadające kąty są równe, a odpowiadające boki pozostają w jednej skali.
Pojęcia, od których zaczynamy
Podobieństwo oznacza zachowanie kształtu. Trójkąt można powiększyć, pomniejszyć, obrócić lub odbić; odpowiadające sobie kąty nadal są równe. Odpowiadające boki łączą wierzchołki z równymi kątami. Nie dobieraj ich wyłącznie według położenia na kartce.
Najpierw ustal kierunek porównania. Jeżeli przechodzisz od pierwszego trójkąta do drugiego, skala to długość boku drugiego podzielona przez długość odpowiedniego boku pierwszego. Dla przejścia od boku \(3\) do boku \(6\) mamy \(k=\frac63=2\). Wszystkie pozostałe długości mnożymy przez tę samą liczbę. Powrót ma skalę \(\frac12\).
Zasady i wzory
Jeżeli skala podobieństwa wynosi \(k\), wszystkie długości mnożą się przez \(k\). Obwody zmieniają się w skali \(k\), a pola w skali \(k^2\).
- Zawsze zestawiaj boki odpowiadające.
- Kolejność liter w zapisie podobieństwa wskazuje odpowiedniość wierzchołków.
- Skala zależy od kierunku porównania figur.
Pierwsza zależność dotyczy długości, druga pól.
Jak czytać rysunek?
Zapis \(ABC\sim DEF\) wskazuje kolejność: \(A\) odpowiada \(D\), \(B\) odpowiada \(E\), a \(C\) odpowiada \(F\). Dlatego porównujemy \(AB\) z \(DE\), \(BC\) z \(EF\) i \(AC\) z \(DF\). Obrót rysunku nie zmienia tych par. Na ilustracji każdy bok drugiego trójkąta jest dwa razy dłuższy.
Przykład krok po kroku
Bok 4 odpowiada bokowi 10. Pole mniejszego trójkąta wynosi 24. Oblicz pole większego.
Wybierz kierunek porównania. Przechodzimy od mniejszego trójkąta do większego, więc dzielimy odpowiadającą długość większego przez długość mniejszego. Pole zależy od dwóch długości: podstawy i wysokości. Obie mnożą się przez \(k\), dlatego pole mnoży się przez \(k\cdot k=k^2\).
- Wyznacz skalę długości.\(k=\frac{10}{4}=\frac52\)
- Podnieś skalę do kwadratu.\(k^2=\frac{25}{4}\)
- Przelicz pole.\(P'=24\cdot\frac{25}{4}=150\)
Typowy błąd
Pola nie zmieniają się liniowo wraz z długościami.
Dodatkowy przykład i kontrola
Wysokości, promienie okręgów wpisanych i opisanych oraz obwody zmieniają się w skali \(k\). Pole zmienia się w skali \(k^2\), ponieważ we wzorze \(P=\frac{ah}{2}\) skala mnoży zarówno podstawę, jak i wysokość.
Jeżeli pole pierwszego trójkąta wynosi \(6\), a skala przejścia do drugiego wynosi \(3\), to jego pole wynosi \(3^2\cdot6=54\). Odwrotnie: stosunek pól \(9\) oznacza stosunek długości \(\sqrt9=3\). W zadaniu z niewiadomą zapisz najpierw jeden spójny stosunek, np. \(\frac{x}{5}=\frac{12}{3}=4\), a dopiero potem oblicz \(x=20\).