Cechy podobieństwa pozwalają wykazać ten sam kształt trójkątów bez sprawdzania wszystkich boków i kątów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Cecha podobieństwa jest zestawem danych wystarczającym do udowodnienia podobieństwa. Nie trzeba osobno mierzyć wszystkich kątów i boków. Trzeba jednak poprawnie przyporządkować wierzchołki. Sama zgodność wyglądu na szkicu nie jest dowodem.
Cecha KK wymaga dwóch par równych kątów. Trzecia para jest wtedy równa, bo w każdym trójkącie suma kątów wynosi \(180^\circ\). Cecha BBB wymaga jednego wspólnego stosunku trzech par boków. Cecha BKB wymaga wspólnego stosunku dwóch par boków oraz równości kątów zawartych między tymi bokami. Litery mówią, jakie dane sprawdzasz: B oznacza bok, K oznacza kąt.
Zasady i wzory
Stosujemy cechy: kąt–kąt (KK), bok–kąt–bok (BKB) oraz bok–bok–bok (BBB). W BKB równe muszą być kąty zawarte między parami proporcjonalnych boków.
- KK wymaga dwóch par równych kątów.
- BKB wymaga proporcjonalnych boków i równego kąta między nimi.
- BBB wymaga jednego wspólnego współczynnika dla trzech par boków.
Cecha BBB: trzy pary odpowiadających boków mają jeden wspólny stosunek. Przy BKB wystarczą dwie pary, ale trzeba dodatkowo sprawdzić równość kąta między nimi.
Jak czytać rysunek?
Na rysunku zestawiamy boki \(3,4,5\) z bokami \(6,8,10\). Obliczamy \(\frac63=2\), \(\frac84=2\) i \(\frac{10}{5}=2\). Wszystkie trzy stosunki są równe, więc działa cecha BBB. Nie wystarczyłoby sprawdzenie jedynie dwóch tych ułamków bez dodatkowej informacji o kącie między bokami.
Przykład krok po kroku
Trójkąty mają boki 3, 4, 5 oraz 6, 8, 10. Wykaż ich podobieństwo.
Jak zestawić boki? Gdy dane są same długości, porządkujemy je od najkrótszej do najdłuższej w każdym trójkącie. Porównujemy najkrótszy z najkrótszym, środkowy ze środkowym i najdłuższy z najdłuższym. Wszystkie trzy ilorazy muszą być równe; jedna zgodna para nie wystarcza.
- Porównaj pierwszą parę.\(\frac63=2\)
- Porównaj pozostałe pary.\(\frac84=2,\quad\frac{10}{5}=2\)
- Zastosuj cechę.\(\frac63=\frac84=\frac{10}{5}\;\Rightarrow\;\text{BBB}\)
Typowy błąd
Równość jednego kąta nie wyznacza kształtu trójkąta.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dwa trójkąty o kątach \(40^\circ,60^\circ,80^\circ\) są podobne niezależnie od swoich rozmiarów. Wystarczy wskazać na przykład pary kątów \(40^\circ\) i \(60^\circ\), czyli zastosować KK.
Dla boków \(4,6\) i \(10,15\) otrzymujemy wspólny stosunek \(\frac{10}{4}=\frac{15}{6}=\frac52\). Jeżeli kąt między podanymi bokami w obu trójkątach ma \(50^\circ\), działa BKB. Gdy podany kąt leży przy innym wierzchołku, tego wniosku nie wolno wyciągnąć. Po wskazaniu cechy zapisz podobieństwo z prawidłową kolejnością wierzchołków; dopiero potem układaj proporcję dla szukanego boku.