Cechy podobieństwa trójkątów

Wyobraź sobie dwa trójkątne znaki drogowe: jeden mały przy makiecie, drugi ogromny przy drodze. Nie musisz mierzyć wszystkich elementów, aby stwierdzić, że mają ten sam kształt. Wystarczy sprawdzić kilka kluczowych cech.

Konkret: trzy zamki do podobieństwa

Podobieństwo trójkątów można potraktować jak drzwi zabezpieczone trzema różnymi zamkami. Każdy zamek otwiera się innym zestawem danych: kątami, bokami i kątem albo samymi bokami.

Reprezentacja: odpowiadające sobie elementy

Najpierw ustal, które wierzchołki, kąty i boki sobie odpowiadają. W zapisie △ABC ∼ △DEF:

• A odpowiada D.
• B odpowiada E.
• C odpowiada F.
• AB odpowiada DE, BC odpowiada EF, AC odpowiada DF.

Abstrakcja: trzy cechy podobieństwa

Cecha kąt–kąt: KK

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednio dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Trzecie kąty także są równe, ponieważ suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180°.

Cecha bok–kąt–bok: BKB

Jeżeli dwie pary odpowiadających boków są proporcjonalne, a kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

AB/DE=AC/DF oraz ∠A=∠D

Cecha bok–bok–bok: BBB

Jeżeli trzy pary odpowiadających boków są proporcjonalne, to trójkąty są podobne.

AB/DE=BC/EF=AC/DF

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-P-T: Kąty sprawdź, Proporcje policz, Typ cechy wybierz. W pałacu pamięci stoją troje drzwi. Pierwsze mają dwa wielkie oka w kształcie kątów i napis KK. Drugie drzwi ściskają kąt pomiędzy dwoma gumowymi bokami i mają napis BKB. Trzecie są zbudowane z trzech rosnących boków i mają napis BBB. Wybierasz te drzwi, do których pasują dane z zadania.

Przykład krok po kroku: cecha KK

W trójkącie ABC kąty mają 50°, 60° i 70°. W trójkącie DEF dwa kąty mają 50° i 60°. Czy trójkąty są podobne?

• Krok 1: Porównaj pierwszą parę: 50°=50°.
• Krok 2: Porównaj drugą parę: 60°=60°.
• Krok 3: Dwie pary kątów są równe.
• Wniosek: trójkąty są podobne na mocy cechy KK.

Przykład krok po kroku: cecha BKB

W pierwszym trójkącie boki przy kącie 40° mają długości 6 i 9. W drugim boki przy kącie 40° mają długości 10 i 15. Sprawdź podobieństwo.

• Krok 1: Kąty zawarte są równe: 40°=40°.
• Krok 2: Oblicz pierwszy iloraz: 6/10=0,6.
• Krok 3: Oblicz drugi iloraz: 9/15=0,6.
• Krok 4: Ilorazy są równe, a kąty między bokami są równe.
• Wniosek: trójkąty są podobne na mocy cechy BKB.

Przykład krok po kroku: cecha BBB

Pierwszy trójkąt ma boki 3, 4 i 5, a drugi 6, 8 i 10. Czy są podobne?

• Krok 1: Uporządkuj boki od najkrótszego do najdłuższego.
• Krok 2: 3/6=1/2.
• Krok 3: 4/8=1/2.
• Krok 4: 5/10=1/2.
• Krok 5: Wszystkie trzy ilorazy są równe.
• Wniosek: trójkąty są podobne na mocy cechy BBB.

Przykład: kiedy BKB nie działa

Dwa trójkąty mają proporcjonalne boki 4 i 6 oraz 8 i 12, ale podane równe kąty nie leżą między tymi bokami.

• Krok 1: Proporcje boków są równe.
• Krok 2: Równy kąt nie jest kątem zawartym między porównywanymi bokami.
• Wniosek: nie można zastosować cechy BKB na podstawie tych danych.

Jak wybrać właściwą cechę

• Dwa kąty: wybierz KK.
• Dwa proporcjonalne boki i kąt między nimi: wybierz BKB.
• Trzy pary proporcjonalnych boków: wybierz BBB.

Najczęstsze błędy

• Porównywanie boków, które sobie nie odpowiadają.
• Pomijanie kolejności liter w zapisie podobieństwa.
• Stosowanie BKB, gdy równy kąt nie leży między porównywanymi bokami.
• Uznanie jednej pary równych kątów za wystarczającą.
• Odwracanie jednego ilorazu, na przykład AB/DE i EF/BC.

Kontrola wyniku

• Wszystkie ilorazy zapisuj w tej samej kolejności: pierwszy trójkąt przez drugi albo odwrotnie.
• Sprawdź położenie kąta w cesze BKB.
• Zapisz nazwę użytej cechy w końcowym wniosku.
• Po stwierdzeniu podobieństwa upewnij się, że odpowiadające kąty i boki zostały właściwie przypisane.

Najczęstsze pytania