Przystawanie trójkątów

Wyobraź sobie dwa trójkątne elementy wycięte z kartonu. Jeśli po nałożeniu idealnie się pokrywają, są przystające. Nie są tylko podobne — mają dokładnie takie same długości boków i takie same kąty.

Konkret: dwa identyczne szablony

Przystawanie działa jak dwa identyczne klucze wycięte z tej samej formy. Możesz jeden przesunąć, obrócić albo odbić, ale po nałożeniu nadal pokryje się z drugim.

Reprezentacja: co musi być równe

Jeżeli △ABC jest przystający do △DEF, zapisujemy:

△ABC ≡ △DEF

Kolejność liter pokazuje odpowiadające sobie elementy:

• A odpowiada D, B odpowiada E, C odpowiada F.
• AB=DE, BC=EF, AC=DF.
• ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.

Abstrakcja: cechy przystawania trójkątów

Cecha bok–bok–bok: BBB

Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Cecha bok–kąt–bok: BKB

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom drugiego trójkąta, a kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty są przystające.

Cecha kąt–bok–kąt: KBK

Jeżeli jeden bok oraz dwa kąty przyległe do tego boku są odpowiednio równe, to trójkąty są przystające.

Przystawanie a podobieństwo

• Trójkąty przystające mają ten sam kształt i ten sam rozmiar.
• Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różne rozmiary.
• Każde trójkąty przystające są podobne w skali k=1.
• Nie każde trójkąty podobne są przystające.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-K-P: Równości znajdź, Kolejność sprawdź, Przyłóż w wyobraźni. W pałacu pamięci dwa trójkąty stoją przy wielkiej kserokopiarce. Pierwszy wpada do maszyny, a drugi wyskakuje jako jego idealna kopia. Trzy roboty kontrolują dane: robot BBB mierzy trzy boki, robot BKB ściska kąt między dwoma bokami, a robot KBK pilnuje boku zamkniętego między dwoma kątami.

Przykład krok po kroku: cecha BBB

Trójkąt ABC ma boki 5, 7 i 8, a trójkąt DEF ma boki 8, 5 i 7. Czy są przystające?

• Krok 1: Uporządkuj długości boków obu trójkątów.
• Krok 2: Pierwszy trójkąt: 5, 7, 8.
• Krok 3: Drugi trójkąt: 5, 7, 8.
• Krok 4: Wszystkie trzy pary boków są równe.
• Wniosek: trójkąty są przystające na mocy cechy BBB.

Przykład krok po kroku: cecha BKB

W trójkącie ABC mamy AB=6, AC=9 i ∠A=40°. W trójkącie DEF mamy DE=6, DF=9 i ∠D=40°. Czy trójkąty są przystające?

• Krok 1: AB=DE.
• Krok 2: AC=DF.
• Krok 3: ∠A=∠D.
• Krok 4: Kąty A i D leżą między porównywanymi bokami.
• Wniosek: trójkąty są przystające na mocy cechy BKB.

Przykład krok po kroku: cecha KBK

W dwóch trójkątach bok ma długość 10, a kąty przy jego końcach mają 50° i 70°. Czy trójkąty są przystające?

• Krok 1: Odpowiadające boki mają po 10.
• Krok 2: Pierwsza para kątów ma po 50°.
• Krok 3: Druga para kątów ma po 70°.
• Krok 4: Bok leży między tymi kątami.
• Wniosek: trójkąty są przystające na mocy cechy KBK.

Przykład: dlaczego trzy kąty nie wystarczą

Dwa trójkąty mają kąty 40°, 60° i 80°, ale jeden ma boki dwa razy dłuższe od drugiego.

• Krok 1: Wszystkie kąty są równe.
• Krok 2: Trójkąty mają ten sam kształt.
• Krok 3: Ich rozmiary są różne.
• Wniosek: są podobne, ale nie przystające.

Najczęstsze błędy

• Mylenie przystawania z podobieństwem.
• Uznanie trzech równych kątów za cechę przystawania.
• Stosowanie BKB, gdy równy kąt nie leży między porównywanymi bokami.
• Nieprawidłowe przypisanie odpowiadających wierzchołków.
• Porównywanie dwóch boków i dowolnego kąta zamiast kąta zawartego.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy dane pasują dokładnie do jednej z cech BBB, BKB lub KBK.
• Zachowaj tę samą kolejność odpowiadających elementów.
• Po udowodnieniu przystawania możesz wnioskować, że wszystkie pozostałe odpowiadające boki i kąty są równe.
• Zadaj sobie pytanie: czy jeden trójkąt można idealnie nałożyć na drugi?

Najczęstsze pytania