Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar, więc ich odpowiednie boki, kąty, obwody i pola są równe.
Pojęcia, od których zaczynamy
Trójkąty przystające mają taki sam kształt i rozmiar. Można nałożyć jeden na drugi przez przesunięcie, obrót lub odbicie. Odbicie lustrzane jest dozwolone, dlatego figura odwrócona na rysunku może nadal być przystająca do pierwszej.
Równe są wszystkie odpowiadające boki i kąty. Do dowodu wystarczy cecha: BBB, czyli trzy pary równych boków; BKB, czyli dwie pary równych boków i równe kąty między nimi; albo KBK, czyli dwie pary równych kątów i równe boki zawarte między nimi. W przeciwieństwie do podobieństwa chodzi tutaj o równość długości, a nie tylko ich proporcjonalność.
Zasady i wzory
Przystawanie wykazujemy najczęściej z cech BBB, BKB lub KBK. W przeciwieństwie do podobieństwa skala przystawania zawsze wynosi 1.
- BBB: trzy pary boków są równe.
- BKB: dwie pary boków i kąty między nimi są równe.
- KBK: bok i dwa kąty przy nim są równe.
Kolejność liter wskazuje odpowiadające sobie wierzchołki.
Jak czytać rysunek?
Oba narysowane trójkąty mają boki \(3,4,5\), więc są przystające z cechy BBB. Jeden jest lustrzanym odbiciem drugiego. Położenie kąta prostego po innej stronie kartki nie zmienia długości ani wielkości kątów. Pary boków ustalamy po ich długościach lub odpowiadających wierzchołkach.
Przykład krok po kroku
Dwa trójkąty mają boki 5, 7 i 8. Uzasadnij, że są przystające.
- Zestaw odpowiadające boki.\(5=5,\quad7=7,\quad8=8\)
- Rozpoznaj cechę.\(\text{BBB}\)
- Podaj wniosek.\(\triangle_1\cong\triangle_2\)
Typowy błąd
Podobieństwo nie oznacza automatycznie przystawania.
Dodatkowy przykład i kontrola
Sama równość kątów dowodzi jedynie podobieństwa. Trójkąt o bokach \(3,4,5\) i trójkąt o bokach \(6,8,10\) mają równe odpowiadające kąty, ale drugi jest większy. Nie są przystające.
Jeśli w dwóch trójkątach znamy kąty \(40^\circ\) i \(70^\circ\), trzeci ma \(70^\circ\). Jeżeli dodatkowo boki łączące wierzchołki kątów \(40^\circ\) i \(70^\circ\) są równe, możemy użyć KBK. W dowodzie wymień konkretnie trzy pary danych. Równość pól lub obwodów sama w sobie nie zastępuje żadnej z cech przystawania.