Pole trójkąta można obliczyć na kilka sposobów; wybór wzoru zależy od tego, czy znamy wysokość, kąt między bokami albo trzy długości boków.
Pojęcia, od których zaczynamy
Pole mierzy powierzchnię figury. Podajemy je w jednostkach kwadratowych, np. \(\text{cm}^2\). Wysokość trójkąta jest prostopadłą odległością wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok. Podstawa i wysokość we wzorze muszą tworzyć właśnie taką parę; ukośny bok nie jest automatycznie wysokością.
Podstawowy wzór \(P=\frac{ah}{2}\) można zrozumieć przez zestawienie dwóch jednakowych trójkątów w równoległobok o podstawie \(a\) i wysokości \(h\). Pole jednego jest połową pola tego równoległoboku. Każdy bok trójkąta można wybrać jako podstawę, lecz wtedy trzeba dobrać wysokość opuszczoną na ten bok.
Zasady i wzory
Najczęściej używamy podstawy i odpowiadającej jej wysokości. Przy dwóch bokach i kącie zawartym stosujemy sinus, a przy trzech bokach — wzór Herona.
- Wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.
- We wzorze z sinusem używamy kąta między podanymi bokami.
- Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych.
We wzorze Herona \(s=\frac{a+b+c}{2}\) jest półobwodem.
Jak czytać rysunek?
W trójkącie równoramiennym o bokach \(5,5,6\) wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na części \(3\) i \(3\). W pomocniczym trójkącie prostokątnym \(h^2+3^2=5^2\), więc \(h^2=16\) i \(h=4\). Następnie \(P=\frac{6\cdot4}{2}=12\). Podział podstawy na połowy wynika tutaj z równoramienności, a nie z samej definicji wysokości.
Przykład krok po kroku
Trójkąt równoramienny ma boki 5, 5 i podstawę 6. Oblicz pole.
Dlaczego podstawę dzielimy na pół? Trójkąt w przykładzie jest równoramienny. Jego wysokość poprowadzona do podstawy dzieli ją na dwa równe odcinki i tworzy dwa trójkąty prostokątne. Ramię długości \(5\) jest przeciwprostokątną, a połowa podstawy \(3\) jedną z przyprostokątnych. Stąd wysokość liczymy przez odejmowanie kwadratów.
- Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na połowy.\(\frac62=3\)
- W jednym z dwóch trójkątów prostokątnych ramię jest przeciwprostokątną.\(h^2+3^2=5^2\)
- Odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej.\(h^2=25-9=16\quad\Rightarrow\quad h=4\)
- Użyj pełnej podstawy pierwotnego trójkąta, nie jej połowy.\(P=\frac12\cdot6\cdot4=12\)
Typowy błąd
Bok skośny nie zastępuje wysokości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dobieraj wzór do danych. Dla dwóch boków i kąta między nimi użyj \(P=\frac12ab\sin\gamma\). Dla trzech boków działa wzór Herona: \(P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), gdzie \(s=\frac{a+b+c}{2}\) jest połową obwodu. Najpierw sprawdź, czy boki tworzą trójkąt.
Gdy okrąg jest wpisany w trójkąt, czyli styka się ze wszystkimi jego bokami od środka, jego promień \(r\) jest wysokością trzech mniejszych trójkątów. Suma ich pól daje \(P=rs\). Dla okręgu opisanego, przechodzącego przez trzy wierzchołki, promień oznaczamy \(R\) i mamy \(P=\frac{abc}{4R}\). Nie zamieniaj \(r\) z \(R\). W trójkącie równobocznym można użyć \(P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\).