Pola trójkątów

Wyobraź sobie trójkątny kawałek materiału na żagiel. Aby kupić odpowiednią ilość tkaniny, nie wystarczy znać długości jego krawędzi — trzeba obliczyć powierzchnię, czyli pole.

Konkret: połowa prostokąta

Jeśli do trójkąta dołożysz jego lustrzaną kopię, często powstanie równoległobok lub prostokąt. Dlatego pole trójkąta jest połową iloczynu podstawy i odpowiadającej jej wysokości.

Reprezentacja: podstawa i wysokość

W trójkącie dowolny bok może być podstawą. Wysokość musi być poprowadzona prostopadle do prostej zawierającej tę podstawę.

P=1/2·a·h_a

• a — długość wybranej podstawy.
• h_a — wysokość opuszczona na tę podstawę.
• P — pole trójkąta.

Abstrakcja: najważniejsze wzory

Podstawa i wysokość

P=1/2·a·h_a

Dwa boki i kąt między nimi

P=1/2·a·b·sin γ

Kąt γ musi leżeć między bokami a i b.

Wzór Herona

P=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie p=(a+b+c)/2 jest połową obwodu.

Promień okręgu wpisanego

P=p·r, gdzie p jest połową obwodu, a r promieniem okręgu wpisanego.

Promień okręgu opisanego

P=(a·b·c)/(4R), gdzie R jest promieniem okręgu opisanego.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-W-S: Dane rozpoznaj, Wzór wybierz, Sprawdź jednostkę. W pałacu pamięci stoi trójkątny namiot. Na podłodze leży podstawa a, z dachu spada pionowa lina h, a gigantyczna cyfra 2 w kształcie łabędzia przecina namiot na pół. W drugim pokoju dwa boki tańczą wokół kąta, a neon z napisem sin świeci dokładnie między nimi.

Przykład krok po kroku: podstawa i wysokość

Podstawa trójkąta ma 12 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 7 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Zapisz wzór: P=1/2·a·h_a.
• Krok 2: Podstaw dane: P=1/2·12·7.
• Krok 3: P=6·7=42.
• Krok 4: Zapisz jednostkę: P=42 cm².

Przykład krok po kroku: dwa boki i kąt

Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.

• Krok 1: Użyj wzoru P=1/2·a·b·sin γ.
• Krok 2: P=1/2·8·10·sin 30°.
• Krok 3: sin 30°=1/2.
• Krok 4: P=40·1/2=20.
• Krok 5: P=20 cm².

Przykład krok po kroku: wzór Herona

Boki trójkąta mają długości 5 cm, 5 cm i 6 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Oblicz połowę obwodu: p=(5+5+6)/2=8.
• Krok 2: Zastosuj wzór: P=√(8·(8-5)·(8-5)·(8-6)).
• Krok 3: P=√(8·3·3·2)=√144.
• Krok 4: P=12 cm².

Przykład krok po kroku: okrąg wpisany

Trójkąt ma obwód 30 cm i promień okręgu wpisanego r=4 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Oblicz połowę obwodu: p=30/2=15.
• Krok 2: Użyj wzoru P=p·r.
• Krok 3: P=15·4=60.
• Krok 4: P=60 cm².

Jak wybrać wzór

• Masz bok i odpowiadającą mu wysokość: P=1/2·a·h_a.
• Masz dwa boki i kąt między nimi: P=1/2·a·b·sin γ.
• Masz trzy boki: wzór Herona.
• Masz połowę obwodu i promień okręgu wpisanego: P=p·r.
• Masz trzy boki i promień okręgu opisanego: P=abc/(4R).

Najczęstsze błędy

• Pomijanie czynnika 1/2.
• Używanie wysokości, która nie jest prostopadła do wybranej podstawy.
• Wstawienie do wzoru sinusowego kąta, który nie leży między podanymi bokami.
• Mylenie obwodu z połową obwodu we wzorze Herona i we wzorze P=p·r.
• Zapisywanie jednostek liniowych zamiast kwadratowych.

Kontrola wyniku

• Pole musi być dodatnie.
• Jednostka pola musi być kwadratowa.
• Przy wzorze P=1/2·a·h pole powinno być mniejsze od pola prostokąta a·h.
• Przy wzorze sinusowym pamiętaj, że sin γ≤1, więc P≤1/2·a·b.
• Sprawdź, czy wybrane dane odpowiadają użytemu wzorowi.

Najczęstsze pytania