Trójkąty szczególne mają stałe proporcje boków, dzięki czemu wiele długości można wyznaczyć bez ogólnego równania Pitagorasa.
Pojęcia, od których zaczynamy
Proporcja boków \(1:1:\sqrt2\) nie oznacza, że długości muszą być równe dokładnie tym trzem liczbom. Wszystkie mnożymy przez tę samą dodatnią skalę. Na przykład przy skali \(5\) otrzymujemy \(5,5,5\sqrt2\).
W trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne mają długość \(a\). Z Pitagorasa \(c^2=a^2+a^2=2a^2\), więc \(c=a\sqrt2\). Dwa równe kąty ostre mają po \(45^\circ\). Przy obliczaniu przyprostokątnej z przeciwprostokątnej odwracamy działanie: \(a=\frac c{\sqrt2}=\frac{c\sqrt2}{2}\).
Zasady i wzory
W trójkącie \(45^\circ,45^\circ,90^\circ\) boki są w proporcji \(1:1:\sqrt2\). W trójkącie \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\) proporcja wynosi \(1:\sqrt3:2\).
- Bok naprzeciw \(30^\circ\) jest połową przeciwprostokątnej.
- Przeciwprostokątna w trójkącie równoramiennym prostokątnym ma długość \(a\sqrt2\).
- Wysokość trójkąta równobocznego wynosi \(\frac{a\sqrt3}{2}\).
Kolejność długości odpowiada rosnącym kątom.
Jak czytać rysunek?
Po lewej oba równe boki leżą naprzeciw równych kątów. Po prawej najkrótszy bok \(a\) leży naprzeciw \(30^\circ\), bok \(a\sqrt3\) naprzeciw \(60^\circ\), a \(2a\) naprzeciw \(90^\circ\). Przyprostokątna długości \(6\sqrt3\) jako dłuższy bok odpowiada \(a=6\), a przeciwprostokątnej \(12\).
Przykład krok po kroku
Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku 6.
Skąd wzór na wysokość? Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną \(a\) i przyprostokątną \(\frac{a}{2}\). Zatem \(h^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}\), a dodatnia długość wynosi \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\).
- Zastosuj wzór na wysokość.\(h=\frac{a\sqrt3}{2}\)
- Podstaw długość boku.\(h=\frac{6\sqrt3}{2}\)
- Skróć ułamek.\(h=3\sqrt3\)
Typowy błąd
W proporcji \(30^\circ\)–\(60^\circ\)–\(90^\circ\) bok naprzeciw \(30^\circ\) jest najkrótszy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przekątna kwadratu o boku \(s\) tworzy dwa trójkąty równoramienne prostokątne, więc \(d=s\sqrt2\). Gdy \(d=10\sqrt2\), bok ma \(10\), a pole \(100\).
Dla trójkąta równobocznego o boku \(s\) wysokość wynosi \(\frac{s\sqrt3}{2}\), a pole \(\frac{s^2\sqrt3}{4}\). Przy boku \(6\) daje to wysokość \(3\sqrt3\) i pole \(9\sqrt3\). Zanim wstawisz liczby, dopasuj boki do kątów naprzeciw. Nie zawsze podana długość jest najkrótszym bokiem proporcji.