Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi dokładnie \(180^\circ\), niezależnie od jego kształtu.
Pojęcia, od których zaczynamy
Kąt wewnętrzny jest kątem między bokami wewnątrz trójkąta. Przy każdym wierzchołku wybieramy jeden taki kąt. Nie dodajemy do sumy kąta powstałego po zewnętrznej stronie figury ani dodatkowych kątów z pomocniczej wysokości.
Stałość sumy można uzasadnić prostą równoległą do podstawy poprowadzoną przez przeciwległy wierzchołek. Dwa kąty przy tej prostej odpowiadają kątom przy podstawie. Razem z kątem przy górnym wierzchołku tworzą kąt półpełny. Stąd \(180^\circ\), niezależnie od kształtu trójkąta.
Zasady i wzory
Jeżeli kąty trójkąta oznaczymy przez \(\alpha,\beta,\gamma\), to ich suma jest stała. Kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych.
- Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych.
- W trójkącie równoramiennym dwa kąty przy podstawie są równe.
- Po obliczeniu zawsze sprawdź sumę trzech kątów.
Brakujący kąt otrzymujemy przez odjęcie dwóch znanych od \(180^\circ\).
Jak czytać rysunek?
Na rysunku \(\alpha,\beta,\gamma\) są wewnętrzne, a \(\delta\) zewnętrzny, przyległy do \(\beta\). Dlatego \(\delta+\beta=180^\circ\), a zarazem \(\delta=\alpha+\gamma\). Kąt zewnętrzny jest sumą dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych, nie wszystkich trzech.
Przykład krok po kroku
Dwa kąty mają miary \(42^\circ\) i \(73^\circ\). Oblicz trzeci.
- Zapisz równanie.\(42^\circ+73^\circ+x=180^\circ\)
- Dodaj znane kąty.\(115^\circ+x=180^\circ\)
- Wyznacz niewiadomą.\(x=65^\circ\)
Typowy błąd
Suma \(360^\circ\) dotyczy czworokąta, nie trójkąta.
Dodatkowy przykład i kontrola
Stosunek miar \(2:3:5\) oznacza kąty \(2x,3x,5x\). Z \(10x=180^\circ\) dostajemy \(x=18^\circ\), a kąty \(36^\circ,54^\circ,90^\circ\). Jeśli pytanie dotyczy największego kąta, odpowiedzią jest \(90^\circ\), nie \(18^\circ\).
Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych. Po dwóch prostych pozostałby zerowy trzeci kąt; dwa rozwarte przekroczyłyby całą sumę. Sprawdzaj, czy wszystkie znalezione miary są dodatnie i czy ich suma wynosi dokładnie \(180^\circ\).