Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty, a jego istnienie i własności wynikają z relacji między długościami boków oraz miarami kątów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Trójkąt powstaje z trzech punktów nieleżących na jednej prostej i łączących je odcinków. W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) leży naprzeciw kąta przy \(A\). To właśnie tę parę porównujemy: większemu kątowi odpowiada dłuższy bok naprzeciw niego.
Ze względu na boki wyróżniamy trójkąty różnoboczne, równoramienne i równoboczne. W równoramiennym przynajmniej dwa boki są równe i kąty naprzeciw nich też są równe. Ze względu na kąty wyróżniamy ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Te podziały można łączyć: trójkąt może być równoramienny i prostokątny.
Zasady i wzory
Suma kątów wewnętrznych wynosi \(180^\circ\). Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku. Z odcinków powstaje trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego.
- Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty po \(60^\circ\).
- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
- Wysokość, środkowa i dwusieczna pełnią różne role.
Po uporządkowaniu boków wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych przewyższa najdłuższy.
Jak czytać rysunek?
Wysokość biegnie z wierzchołka prostopadle do prostej przeciwległego boku. Środkowa trafia w środek tego boku. Dwusieczna dzieli kąt przy wierzchołku na dwie równe części. Są to różne warunki i w dowolnym trójkącie odcinki nie muszą się pokrywać. W równoramiennym wysokość prowadzona z wierzchołka między równymi ramionami do podstawy jest również środkową i dwusieczną.
Przykład krok po kroku
Sprawdź, czy odcinki długości 4, 7 i 12 mogą być bokami trójkąta.
- Wskaż najdłuższy odcinek.\(c=12\)
- Dodaj dwa krótsze.\(4+7=11\)
- Porównaj.\(11\lt 12\;\Rightarrow\;\text{trójkąt nie istnieje}\)
Typowy błąd
Równość sumy dwóch boków z trzecim daje figurę zdegenerowaną.
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeśli znasz boki \(4\) i \(7\), trzeci bok \(x\) musi spełniać \(|7-4|\lt x\lt7+4\), czyli \(3\lt x\lt11\). Końce przedziału są wykluczone. Dla całkowitej długości są to \(4,5,6,7,8,9,10\), więc siedem możliwości.
W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma \(36^\circ\). Kąty przy podstawie mają po \(\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ\). Nie zakładaj jednak równych boków ani kątów, jeśli nie wynika to z danych. Najpierw sprawdzaj istnienie trójkąta, potem stosuj jego własności.