Przy dwóch prostych równoległych przeciętych sieczną można wyznaczać kąty bez mierzenia: wystarczy rozpoznać ich położenie.
Pojęcia, od których zaczynamy
Sieczna to prosta przecinająca dwie inne proste w różnych punktach. Przy każdym przecięciu powstają cztery kąty. Najpierw sprawdź informację \(p\parallel q\): równoległości nie wolno przyjmować tylko dlatego, że tak wygląda szkic.
Obszar pomiędzy prostymi to pas wewnętrzny. Kąty odpowiadające zajmują taką samą pozycję przy obu przecięciach. Naprzemianległe wewnętrzne leżą w pasie, po przeciwnych stronach siecznej. Jednostronne wewnętrzne leżą w pasie po tej samej stronie siecznej. Słowo „wewnętrzne” jest istotne: wskazuje, które dokładnie obszary porównujemy.
Zasady i wzory
Kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Kąty jednostronne wewnętrzne sumują się do \(180^\circ\). Te reguły wolno stosować dopiero po ustaleniu równoległości prostych.
- Odpowiadające zajmują takie samo położenie przy obu przecięciach.
- Naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach siecznej.
- Równość odpowiednich kątów może służyć do wykazania równoległości.
Numery odpowiadają rysunkowi. Kolejno: kąty odpowiadające, naprzemianległe wewnętrzne i jednostronne wewnętrzne. Zakładamy \(p\parallel q\).
Jak czytać rysunek?
Na rysunku parą odpowiadającą są kąty \(1,5\), naprzemianległą wewnętrzną \(3,5\), a jednostronną wewnętrzną \(4,5\). Pierwsze dwie pary są równe, trzecia sumuje się do \(180^\circ\). W pasie leżą kąty \(3,4,5,6\). Numery opisują położenia, nie wartości miar.
Przykład krok po kroku
Dwie proste równoległe przecięto sieczną. Kąt jednostronny wewnętrzny do kąta \(128^\circ\) ma miarę \(x\).
Sprawdź położenie kątów, nie tylko ich wygląd. Kąty jednostronne wewnętrzne leżą między dwiema prostymi i po tej samej stronie siecznej. Przy równoległych prostych ich suma wynosi \(180^\circ\). Warunek równoległości jest potrzebny — nie wynika z samego szkicu.
- Zapisz sumę kątów jednostronnych.\(x+128^\circ=180^\circ\)
- Odejmij \(128^\circ\).\(x=52^\circ\)
- Sprawdź sumę.\(52^\circ+128^\circ=180^\circ\)
Typowy błąd
Sam wygląd rysunku nie dowodzi równoległości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Kąty naprzemianległe wewnętrzne o miarach \((3x+5)^\circ\) i \((5x-35)^\circ\) przy prostych równoległych są równe. Z \(3x+5=5x-35\) otrzymujemy \(x=20\). Miara kąta wynosi jednak \(65^\circ\), bo \(3\cdot20+5=65\). Nie myl niewiadomej z całą miarą.
Można też wnioskować odwrotnie: równość kątów odpowiadających przy dwóch prostych przeciętych sieczną dowodzi równoległości. Podobnie działa równość naprzemianległych wewnętrznych lub suma \(180^\circ\) jednostronnych wewnętrznych. Zawsze wskaż właściwą parę.