Kąty i proste tworzą podstawowy język planimetrii: pozwalają opisać położenie figur, równoległość i prostopadłość oraz obliczać brakujące miary kątów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Prosta biegnie bez końca w obie strony. Półprosta ma początek i biegnie bez końca w jednym kierunku, a odcinek ma dwa końce i określoną długość. Dwie półproste o wspólnym początku tworzą ramiona kąta. Wspólny początek jest jego wierzchołkiem.
Miara kąta zależy od kierunków ramion, nie od długości narysowanych odcinków. Kąt ostry spełnia \(0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ\), prosty ma \(90^\circ\), rozwarty leży między \(90^\circ\) i \(180^\circ\), a półpełny ma \(180^\circ\). Pełny obrót to \(360^\circ\). Zapis \(a\parallel b\) oznacza równoległość, a \(a\perp b\) prostopadłość prostych.
Zasady i wzory
Kąty wierzchołkowe są równe, kąty przyległe sumują się do \(180^\circ\), a kąty wokół punktu do \(360^\circ\). Proste prostopadłe wyznaczają cztery kąty proste.
- Kąt ostry ma miarę mniejszą niż \(90^\circ\), prosty równą \(90^\circ\), a rozwarty między \(90^\circ\) i \(180^\circ\).
- Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie.
- Równość kątów należy uzasadnić konkretną własnością.
Pierwsza równość dotyczy kątów wierzchołkowych, druga — przyległych.
Jak czytać rysunek?
Kąty \(\alpha,\gamma\) leżą naprzeciw siebie: są wierzchołkowe. Tak samo kąty \(\beta,\delta\). Kąty \(\alpha,\beta\) mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą: są przyległe. Sam wspólny wierzchołek nie wystarcza do wierzchołkowości, a samo sąsiedztwo nie wystarcza do przyległości.
Przykład krok po kroku
Jeden z kątów przy przecięciu prostych ma miarę \(68^\circ\). Wyznacz trzy pozostałe.
- Wskaż kąt wierzchołkowy.\(\gamma=68^\circ\)
- Oblicz kąt przyległy.\(\beta=180^\circ-68^\circ=112^\circ\)
- Uzupełnij ostatni kąt wierzchołkowy.\(\delta=112^\circ\)
Typowy błąd
Nie wszystkie cztery kąty przy przecięciu dwóch prostych są równe.
Dodatkowy przykład i kontrola
Po obliczeniu kątów przy przecięciu prostych sprawdź pełny obrót: \(68^\circ+112^\circ+68^\circ+112^\circ=360^\circ\). Równość wszystkich czterech kątów zachodzi tylko przy prostych prostopadłych.
Jeśli dwa kąty przyległe mają miary \(x\) i \(2x\), to \(x+2x=180^\circ\). Otrzymujemy \(x=60^\circ\) i drugi kąt \(120^\circ\). Najpierw rozpoznaj rodzaj pary, dopiero potem wybierz dodawanie albo równość. Nie odczytuj dokładnej miary z niedokładnego szkicu.