Działania na liczbach rzeczywistych to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb dodatnich, ujemnych, zera oraz ułamków i liczb niewymiernych. Zacznij od rozpoznania działania i znaku każdej liczby. Ta sama para minusów może oznaczać inną sytuację przy dodawaniu niż przy mnożeniu.
1. Liczba ujemna i liczba przeciwna
Na osi liczbowej liczby rosną w prawo. Minus trzy leży trzy jednostki na lewo od zera, a plus trzy trzy jednostki na prawo. Są to liczby przeciwne: ich suma wynosi zero. Zapis \(-(-3)=3\) oznacza liczbę przeciwną do minus trzech.
Nawias pomaga oddzielić znak liczby od znaku działania. W \(6+(-4)\) działaniem jest dodawanie, a drugą liczbą minus cztery. W \(6-(-4)\) działaniem jest odejmowanie tej liczby. Tych zapisów nie można traktować identycznie.
Odległość liczby od zera nazywamy wartością bezwzględną: \(|-4|=4\) i \(|4|=4\). Przy ustalaniu znaku sumy będziemy porównywać właśnie odległości, czyli wielkości liczb bez ich znaków.
2. Dodawanie: w którą stronę idziemy?
Przy dodawaniu liczby dodatniej przesuwasz się w prawo, przy dodawaniu ujemnej w lewo. Dla \(-3+5\) startujesz przy minus trzech. Pięć kroków w prawo prowadzi do dwóch.
Jeśli obie liczby są ujemne, oba przesunięcia kierują w lewo: \(-7+(-5)=-12\). Dodajemy odległości siedem i pięć, a wynik zapisujemy z minusem. Jeśli znaki są różne, przesunięcia częściowo się znoszą. W \(-9+14\) dziewięć kroków w lewo zostaje zrównoważone przez dziewięć z czternastu kroków w prawo. Pozostaje pięć w prawo, więc wynik to \(5\).
W \(-14+9\) większą odległość ma liczba ujemna: po zrównoważeniu dziewięciu kroków pozostaje pięć w lewo, czyli \(-5\). Gdy odległości są równe, dostajemy zero, na przykład \(-8+8=0\).
3. Odejmowanie jako dodawanie liczby przeciwnej
Odjąć liczbę znaczy dodać jej liczbę przeciwną. Dlatego \(6-4=6+(-4)=2\), a \(6-(-4)=6+4=10\). Odejmowanie liczby ujemnej zwiększa wynik, bo odwracamy kierunek jej przesunięcia.
Litery oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Najpierw ustal, jaką liczbę odejmujesz, następnie zastąp ją przeciwną i zmień odejmowanie na dodawanie.
Przykład z dwiema ujemnymi liczbami: \(-5-(-8)=-5+8=3\). Najpierw zmieniliśmy odejmowanie minus ośmiu na dodawanie ośmiu, a dopiero potem obliczyliśmy sumę. Hasło „dwa minusy dają plus” bez wskazania działania jest mylące: \(-5+(-8)=-13\), a nie plus trzynaście.
4. Mnożenie, dzielenie i rola zera
Przy mnożeniu dwóch niezerowych liczb o jednakowych znakach wynik jest dodatni, a o różnych znakach ujemny. Na przykład \((-3)\cdot4=-12\) i \((-3)\cdot(-4)=12\). Ujemny znak drugiego czynnika odwraca znak wyniku. Dzielenie ma tę samą regułę znaków: \(12:(-4)=-3\), ponieważ \((-3)\cdot(-4)=12\).
W iloczynie kilku niezerowych czynników parzysta liczba czynników ujemnych daje plus, a nieparzysta minus. W \((-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\) pierwsze dwa dają sześć, a \(6\cdot(-4)=-24\). Jeśli którykolwiek czynnik jest zerem, cały iloczyn jest zerem.
Zero dzielone przez niezerową liczbę daje zero: \(0:5=0\). Dzielenie przez zero nie jest określone. Dla \(5:0\) nie ma liczby, która po pomnożeniu przez zero da pięć. W zapisie \(\frac5{x-2}\) litera x może oznaczać różne liczby, lecz trzeba wykluczyć \(x=2\), bo wtedy mianownik wynosi zero.
5. Ułamki i przykład łączący działania
Licznik jest nad kreską ułamkową, mianownik pod nią. Przy dodawaniu i odejmowaniu potrzebujemy wspólnego mianownika, aby liczyć części tego samego rozmiaru. Dla \(\frac34-\frac56\) wybieramy dwanaście, podzielne przez cztery i sześć: \(\frac34=\frac9{12}\), \(\frac56=\frac{10}{12}\). Zatem wynik to \(-\frac1{12}\).
Przy mnożeniu mnożymy liczniki i mianowniki. Przy dzieleniu odwracamy drugi ułamek i mnożymy: \(\frac23:\frac49=\frac23\cdot\frac94=\frac{18}{12}=\frac32\). Drugi ułamek nie może być zerem. Szczegółowe uzasadnienia znajdziesz w lekcji o ułamkach.
Oblicz \(-3+2\cdot(-5)-12:(-4)\). Mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem.
- Oblicz mnożenie. Czynniki mają różne znaki.\(2\cdot(-5)=-10\)
- Oblicz dzielenie. Dodatnią liczbę dzielimy przez ujemną.\(12:(-4)=-3\)
- Wstaw oba wyniki, zachowując odejmowanie ostatniego wyniku.\(-3+(-10)-(-3)\)
- Zastąp odejmowanie liczby ujemnej dodawaniem i policz.\(-3-10+3=-13+3=-10\)
6. Jak sprawdzać, czy wynik ma sens?
Przy dzieleniu sprawdź wynik mnożeniem, a przy odejmowaniu dodawaniem odjętej liczby. Wynik \(-5-(-8)=3\) sprawdzisz przez \(3+(-8)=-5\). Zanim wykonasz długie obliczenie, wskaż działanie, odczytaj znaki i ustal, czy nie występuje dzielenie przez zero.