Zbiory liczb to grupy tworzone według określonych zasad. Pomagają odróżnić liczby służące do liczenia przedmiotów od liczb ujemnych, ułamków i liczb takich jak \(\sqrt2\). Jedna liczba może należeć do kilku takich grup jednocześnie.
1. Co znaczy, że liczba należy do zbioru?
Zbiór możesz rozumieć jako kolekcję elementów. Zapis \(A=\{1,2,3\}\) oznacza zbiór złożony z trzech wymienionych liczb. Nawiasy klamrowe obejmują jego elementy. Symbol \(\in\) czytamy „należy do”: \(2\in A\). Zapis \(5\notin A\) znaczy, że piątka nie jest elementem tego zbioru.
Teraz utworzymy większe kolekcje, obejmujące nieskończenie wiele liczb. Wielokropek oznacza, że lista jest kontynuowana według wskazanej reguły. Symbole \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\) są nazwami czterech ważnych zbiorów, a nie liczbami, które trzeba obliczyć.
2. Liczby naturalne i całkowite
Liczby naturalne wykorzystujemy przy liczeniu: jeden zeszyt, dwa zeszyty, trzy zeszyty. W tej lekcji przyjmujemy \(\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}\), uwzględniając zero, które oznacza brak przedmiotów. Niektóre podręczniki zaczynają ten zbiór od jedynki. Jeżeli zadanie podaje własną konwencję, stosujemy właśnie ją.
Liczby całkowite obejmują liczby naturalne oraz ich liczby przeciwne: \(\mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\). Liczby przeciwne mają przeciwny znak i sumę równą zeru: \(3+(-3)=0\). Przykładem zastosowania liczb ujemnych jest temperatura poniżej zera.
Liczba \(-5\) jest całkowita, ale nie jest naturalna. Liczba \(\frac12\) nie jest całkowita, bo znajduje się między zerem a jedynką. O rodzaju liczby decyduje wartość: \(\frac84=2\) jest liczbą naturalną mimo zapisu z kreską ułamkową.
3. Liczby wymierne i niewymierne
Liczbę wymierną można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, z mianownikiem różnym od zera. Należą tu zwykłe ułamki, na przykład \(\frac34\), ale także wszystkie liczby całkowite: \(-5=\frac{-5}{1}\). Zbiór oznaczamy przez \(\mathbb Q\).
Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone lub okresowe. Skończone kończy się po pewnej liczbie cyfr: \(0{,}125=\frac18\). Okresowe powtarza ten sam blok cyfr bez końca: \(\frac13=0{,}333\ldots=0{,}\overline3\). Kreska nad cyfrą wskazuje powtarzający się okres. Podobnie \(0{,}\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac3{11}\).
Liczby niewymiernej nie można przedstawić jako ilorazu dwóch liczb całkowitych. Jej rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe. Przykłady to \(\sqrt2\), \(\sqrt5\) i \(\pi\). Symbol \(\sqrt2\) oznacza nieujemną liczbę, której kwadrat wynosi dwa. Kilka pierwszych cyfr z kalkulatora nie dowodzi nieokresowości: klasyfikujemy na podstawie znanych własności liczby, nie wyglądu krótkiego przybliżenia.
4. Jak zbiory mieszczą się w sobie?
Liczby rzeczywiste, oznaczane przez \(\mathbb R\), obejmują wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Każdej z nich odpowiada punkt na osi liczbowej. Na diagramie zobaczysz, że zbiory naturalnych, całkowitych i wymiernych są coraz szerszymi obszarami.
Symbol \(\subset\) w poniższym zapisie czytamy „zawiera się w”. Każdy element zbioru po lewej należy też do zbioru po prawej. Nie znaczy to, że oba zbiory są identyczne.
Na przykład \(2\) jest naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste. Natomiast \(-2\) należy do trzech ostatnich zbiorów.
Zapis \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) oznacza „liczby rzeczywiste z wyłączeniem wymiernych”, czyli zbiór niewymiernych. Symbol różnicy zbiorów nie jest tu zwykłym odejmowaniem liczb.
5. Jak rozwiązać pytanie o najmniejszy zbiór?
„Najmniejszy” oznacza najmniejszy spośród zbiorów wskazanych w zadaniu. Najpierw uprość liczbę, a potem sprawdzaj grupy od naturalnych do rzeczywistych. Przykład: sklasyfikuj \(\frac{\sqrt{36}}3\).
- Pierwiastek z trzydziestu sześciu wynosi sześć, bo sześć do kwadratu daje trzydzieści sześć.\(\frac{\sqrt{36}}3=\frac63\)
- Wykonaj dzielenie. Liczba zapisana skomplikowanie okazuje się liczbą naturalną.\(\frac63=2\)
- Wybierz pierwszy pasujący zbiór z podanej listy.\(2\in\mathbb N\)
Dla \(\frac{-12}{4}=-3\) pomijamy naturalne i wybieramy całkowite. Dla \(\frac74=1{,}75\) pomijamy naturalne i całkowite, więc wybieramy wymierne. Dla \(\sqrt2\) spośród czterech zbiorów pasują tylko rzeczywiste; dokładniej jest to liczba niewymierna.
6. Pułapki i sprawdzenie zrozumienia
Nie myl nieskończonego rozwinięcia z nieokresowym. Liczba \(0{,}\overline6=\frac23\) jest wymierna. Przy pytaniu „do jakich zbiorów należy?” podaj wszystkie pasujące spośród wymienionych; przy pytaniu o najmniejszy wybierz jeden. Powinieneś umieć wyjaśnić, dlaczego każda liczba całkowita jest wymierna, ale nie każda wymierna jest całkowita.