Zbiory liczb: naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste

Spójrz na liczby jak na przedmioty porządkowane w kolejnych pudełkach. Najmniejsze pudełko zawiera liczby naturalne, większe liczby całkowite, jeszcze większe liczby wymierne, a największe liczby rzeczywiste. Każde mniejsze pudełko mieści się w większym.

Od konkretu do zapisu matematycznego

Najpierw wyobraź sobie liczenie przedmiotów: 1 jabłko, 2 książki, 3 krzesła. Tak powstaje zbiór liczb naturalnych, oznaczany symbolem ℕ. W zależności od przyjętej konwencji liczba 0 może należeć do tego zbioru.

Gdy do liczb naturalnych dodamy ich liczby przeciwne, czyli na przykład -1, -2 i -3, otrzymamy zbiór liczb całkowitych ℤ. Liczby całkowite nie mają części ułamkowej.

Kolejne pudełko to liczby wymierne ℚ. Każdą z nich można zapisać w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b ≠ 0. Do tego zbioru należą między innymi 3/4, -2, 0,5 oraz 0,(3).

Istnieją też liczby, których nie da się zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych. Są to liczby niewymierne, na przykład √2 i π. Liczby wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych ℝ.

Mapa zbiorów liczbowych

Najważniejszą zależność zapisujemy jako ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Oznacza to, że każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, a każda wymierna jest rzeczywista.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-C-W-R: Najpierw Całe, Wreszcie Rzeczywiste. Wyobraź sobie cztery gigantyczne szuflady ustawione jedna w drugiej. W najmniejszej skaczą liczby naturalne, w kolejnej pojawiają się liczby ujemne, w trzeciej pływają ułamki, a w największej wirują wszystkie liczby rzeczywiste razem z π i √2. Im bardziej absurdalny obraz, tym łatwiej przypomnieć sobie kolejność zbiorów.

Jak rozpoznać rodzaj liczby?

• Jeżeli liczba służy do liczenia i nie jest ujemna, może być naturalna.
• Jeżeli nie ma części ułamkowej, jest całkowita.
• Jeżeli można ją zapisać jako a/b, jest wymierna.
• Jeżeli ma nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne, jest niewymierna.
• Każda liczba wymierna i niewymierna jest rzeczywista.

Przykład krok po kroku

Określ najmniejszy zbiór, do którego należy liczba -6.

• Krok 1: -6 nie jest liczbą naturalną, ponieważ jest ujemna.
• Krok 2: -6 nie ma części ułamkowej, więc jest liczbą całkowitą.
• Krok 3: Można ją zapisać jako -6/1, więc jest także wymierna.
• Krok 4: Każda liczba wymierna jest rzeczywista.
• Wniosek: najmniejszym zbiorem zawierającym -6 jest zbiór liczb całkowitych ℤ.

Najczęstsze pytania