W zadaniach o ustawieniach liczy się kolejność osób lub przedmiotów. Warunki sąsiedztwa, ustalonych miejsc i ustawienia przy okrągłym stole zmieniają sposób liczenia.
Pojęcia, od których zaczynamy
W szeregu miejsca są rozróżnialne: pierwszy, drugi, trzeci itd. Dla pięciu różnych osób bez ograniczeń mamy \(5!=120\) ustawień. Jeśli Anna ma stać pierwsza, jej miejsce jest ustalone i pozostaje \(4!=24\) ustawień pozostałych.
Gdy dwie wskazane osoby mają stać obok siebie, traktujemy je na chwilę jako jeden blok. Blok zajmuje jedno miejsce w kolejności obiektów, ale mieści dwie osoby. Trzeba osobno policzyć ustawienia bloków i kolejności wewnątrz bloku. Anna–Bartek i Bartek–Anna dają dwa różne ustawienia.
Zasady i wzory
W ustawieniach z ograniczeniami stosujemy metodę bloku, dopełnienie albo podział na przypadki. Warunek „obok siebie” często pozwala traktować kilka osób jak jeden element.
- Wewnątrz bloku elementy także mogą się przestawiać.
- Dla zakazu sąsiedztwa często łatwiej odjąć ustawienia niedozwolone.
- Sprawdź, czy ustawienie jest liniowe czy cykliczne.
Wzór dotyczy dwóch wskazanych elementów stojących obok siebie w szeregu n różnych elementów, dla n co najmniej 2.
Jak czytać rysunek?
Pięć osób A, B, C, D, E zamieniamy na cztery obiekty: blok AB oraz osoby C, D, E. Te cztery obiekty można ustawić na \(4!\) sposobów. W każdym z nich blok ma dwie wersje, AB lub BA, więc wynik mnożymy przez \(2\).
Przykład krok po kroku
Na ile sposobów ustawić 5 osób, jeśli A i B mają stać obok siebie?
Blok zmniejsza liczbę ustawianych obiektów. Dwie osoby traktujemy chwilowo jak jeden obiekt, więc zamiast pięciu ustawiamy cztery. Po ustawieniu obiektów blok może mieć kolejność AB albo BA. Każde ustawienie zewnętrzne daje dwa różne ustawienia osób, dlatego na końcu mnożymy przez \(2\).
- Połącz A i B w blok.Blok + 3 osoby dają 4 obiekty.
- Ustaw cztery obiekty.\(4!=24\)
- Ustaw osoby wewnątrz bloku.\(2\cdot24=48\)
Typowy błąd
Blok ma więcej niż jedno ustawienie wewnętrzne.
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeśli A i B nie mogą stać obok siebie, odejmujemy ustawienia z sąsiedztwem od wszystkich: \(5!-2\cdot4!=120-48=72\). Warunek „nie obok” jest tu dokładnym przeciwieństwem warunku „obok”, więc nie zostaje żaden trzeci przypadek.
Przy okrągłym stole trzeba ustalić, czy obroty są tym samym ustawieniem. Jeśli tak, wybieramy jedną osobę jako punkt odniesienia i ustawiamy pozostałe: dla sześciu osób \((6-1)!=120\). Odbicia lustrzane nadal liczymy osobno, chyba że treść wyraźnie mówi inaczej. Przy ponumerowanych krzesłach obroty zmieniają miejsca i stosujemy \(6!\), nie \(5!\).