W zadaniu kombinatorycznym najpierw określamy jeden pełny wynik i ograniczenia, a potem wybieramy sposób liczenia. W jednym rozwiązaniu często łączymy mnożenie, dodawanie i wybór grup bez kolejności.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zapisz konkretny przykładowy wynik i zamień dwa jego elementy. Czy otrzymasz coś innego? Przy obsadzaniu podium tak, przy wyborze komisji bez funkcji nie. Ten prosty test wyjaśnia, czy kolejność ma znaczenie, zanim pojawi się jakikolwiek wzór.
Następnie zapytaj, czy element wolno wykorzystać ponownie, czy zero może stać na początku i czy wynik ma określony skład. Rozpisz etapy oraz liczbę wyborów na każdym z nich. Jeśli liczba dalszych możliwości zależy od wcześniejszego przypadku, policz przypadki oddzielnie i dodaj rozłączne wyniki.
Zasady i wzory
W zadaniu maturalnym najpierw ustalamy, czy kolejność ma znaczenie, czy dopuszczono powtórzenia i czy przypadki są rozłączne. Dopiero potem wybieramy regułę lub wzór.
- Zapisz model przed rachunkami.
- Kontroluj ograniczenia na każdym etapie.
- Sprawdź wynik drugą metodą lub oszacowaniem, jeśli to możliwe.
Sam wzór bez sprawdzenia warunków może prowadzić do wielokrotnego liczenia tych samych wyników.
Jak czytać rysunek?
Rysunek pokazuje dwa wymagane wybory: dwie dziewczyny z pięciu i jednego chłopca z czterech. Para dziewczyn jest grupą bez kolejności. Do każdej z dziesięciu par można dobrać czterech chłopców, więc powstaje \(10\cdot4=40\) grup o wymaganym składzie.
Przykład krok po kroku
Z 5 dziewczyn i 4 chłopców wybieramy trzyosobową grupę złożoną z 2 dziewczyn i 1 chłopca. Ile jest grup?
Dlaczego dwie kombinacje i mnożenie? Wybieramy grupę bez funkcji typu przewodniczący, więc kolejność nie ma znaczenia. Osobno dobieramy dwie dziewczyny i jednego chłopca. Każdą parę dziewczyn można połączyć z każdym z czterech chłopców; pełna grupa wymaga obu wyborów, dlatego mnożymy ich liczby.
- Wybierz dwie dziewczyny.\(\binom52=10\)
- Wybierz jednego chłopca.\(\binom41=4\)
- Połącz niezależne wybory.\(10\cdot4=40\)
Typowy błąd
Nie wybieramy trzech osób z całej dziewięcioosobowej grupy bez kontroli składu.
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla trzyosobowej grupy z pięciu dziewczyn i czterech chłopców warunek „co najmniej jedna dziewczyna” najłatwiej policzyć przez dopełnienie. Wszystkich grup jest \(\binom93=84\), a grup samych chłopców \(\binom43=4\). Wynik to \(84-4=80\). „Co najmniej jedna” obejmuje jedną, dwie oraz trzy dziewczyny.
Nie dziel automatycznie przez silnię: zrób to tylko wtedy, gdy wcześniejsze liczenie uwzględniło różne kolejności tej samej grupy. Wynik z dodatkowym ograniczeniem nie może przewyższać liczby wszystkich wyników. Wyjaśnij także znaczenie każdego czynnika w iloczynie; sama liczba bez modelu utrudnia wykrycie błędu.