W zadaniach kombinatorycznych z liczbami liczymy dopuszczalne zapisy cyfr na kolejnych pozycjach. Trzeba kontrolować zakaz zera na początku, powtarzanie cyfr i warunki takie jak parzystość lub podzielność.
Pojęcia, od których zaczynamy
W liczbie trzycyfrowej wyróżniamy setki, dziesiątki i jedności. Setki nie mogą być zerem: zapis 037 opisuje liczbę dwucyfrową 37. Zero może jednak stać na dalszych miejscach. W kodzie o trzech pozycjach początkowe zero może być dozwolone, więc kodów i liczb nie liczymy automatycznie tak samo.
Liczba parzysta kończy się cyfrą \(0,2,4,6\) lub \(8\), a podzielna przez pięć cyfrą \(0\) lub \(5\). Jeśli narzucono końcówkę, często warto zacząć właśnie od niej. Kolejność wykonywania wyborów nie musi być kolejnością pozycji od lewej do prawej.
Zasady i wzory
W zadaniach z liczbami trzeba osobno uwzględnić pierwszą cyfrę, zakaz zera na początku, warunek parzystości lub podzielności oraz ewentualny zakaz powtórzeń.
- Zero nie może być pierwszą cyfrą liczby wielocyfrowej.
- Parzystość zależy od ostatniej cyfry.
- Przy zakazie powtórzeń liczba dostępnych cyfr maleje.
W przykładzie \(N_0\) liczy zakończenie zerem, a \(N_{2,4}\) zakończenie cyfrą 2 lub 4. Te przypadki są rozłączne i obejmują wszystkie parzyste końcówki z podanego zbioru cyfr.
Jak czytać rysunek?
Rysunek rozdziela końcówkę zero od niezerowej parzystej cyfry. W pierwszym przypadku zero jest już wykorzystane, więc każda pozostała cyfra nadaje się na początek. W drugim zero nadal jest dostępne, ale na setkach pozostaje zabronione. Dlatego liczby wyborów pierwszej cyfry są inne.
Przykład krok po kroku
Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych bez powtórzeń z cyfr \(0,1,2,3,4\)?
Zacznij od cyfry z ograniczeniem. Parzystość ustala ostatnią cyfrę, więc wybieramy ją przed pierwszą. Gdy na końcu jest zero, na początku zostają cztery niezerowe cyfry. Gdy na końcu jest \(2\) lub \(4\), z początku wykluczamy zarówno zero, jak i wykorzystaną cyfrę końcową.
- Gdy ostatnią cyfrą jest 0, pierwszą wybieramy spośród 1,2,3,4, a środkową spośród pozostałych trzech.\(N_0=1\cdot4\cdot3=12\)
- Gdy ostatnią cyfrą jest 2 lub 4, mamy dwa wybory końca. Na początku nie może być zera ani wybranej cyfry.\(N_{2,4}=2\cdot3\cdot3=18\)
- Na środkowym miejscu wolno użyć zera; po wyborze pierwszej i ostatniej cyfry zostały trzy cyfry.\(5-2=3\)
- Rozłączne przypadki końca zerowego i niezerowego obejmują wszystkie liczby parzyste.\(N=12+18=30\)
Typowy błąd
Dla ostatniej cyfry 0 i niezerowej liczby dostępnych pierwszych cyfr są różne.
Dodatkowy przykład i kontrola
Z cyfr \(0,1,2,3\) tworzymy liczby trzycyfrowe bez powtórzeń. Setki wybieramy na trzy sposoby. Dziesiątki także na trzy: po zabraniu pierwszej cyfry zostały trzy cyfry, w tym zero. Jedności mają dwa wybory, zatem \(3\cdot3\cdot2=18\). Liczba dostępnych cyfr nie musi maleć już między pierwszym a drugim miejscem, ponieważ zero zmienia swoje dopuszczenie.
Przy podzielności przez trzy sprawdzamy sumę cyfr. Wszystkie permutacje cyfr \(1,2,3\) są podzielne przez trzy, bo suma wynosi \(6\), niezależnie od kolejności. Sformułowania „różne cyfry” i „bez powtórzeń” oznaczają ten sam zakaz. Po policzeniu sprawdź na kilku konkretnych liczbach, czy zastosowany podział nie dopuścił zera na początku.