Zadania kombinatoryczne z liczbami

Wyobraź sobie sejf, który otwiera się tylko po wpisaniu odpowiedniej liczby. Każde miejsce w zapisie to osobna szuflada na cyfrę, ale nie każda cyfra pasuje wszędzie. Właśnie dlatego w zadaniach kombinatorycznych z liczbami trzeba analizować pozycje po kolei.

Konkret: budowanie liczb z cyfr

• Tworzysz liczbę trzycyfrową z cyfr 1, 2, 3, 4.
• Sprawdzasz, czy cyfry mogą się powtarzać.
• Pilnujesz, by pierwszą cyfrą nie było 0.
• Uwzględniasz warunki, np. liczba parzysta, większa od 500 lub podzielna przez 5.

Reprezentacja: pozycje jako osobne pola

Najłatwiej narysować puste miejsca odpowiadające kolejnym cyfrom liczby. Dla liczby trzycyfrowej są to setki, dziesiątki i jedności. Nad każdym miejscem zapisujemy liczbę dozwolonych cyfr, a następnie stosujemy regułę mnożenia.

• Pierwsze miejsce wymaga szczególnej uwagi, bo liczba wielocyfrowa nie może zaczynać się od zera.
• Przy powtórzeniach liczba możliwości na kolejnych miejscach często się nie zmienia.
• Bez powtórzeń po każdym wyborze zostaje o jedną cyfrę mniej.
• Warunek parzystości lub podzielności przez 5 najlepiej analizować od cyfry jedności.

Abstrakcja: reguła mnożenia i rozbijanie na przypadki

Jeżeli pierwsze miejsce można obsadzić na a sposobów, drugie na b, a trzecie na c, to liczba utworzonych liczb wynosi a·b·c. Gdy warunek zmienia liczbę możliwości, dzielimy zadanie na rozłączne przypadki i dodajemy ich wyniki.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim C-Y-F-R-A: Czytaj warunek, Y — wyznacz pozycje, Filtruj cyfry, Rozdziel przypadki, A policz iloczyn i sumę. W pałacu pamięci widzisz ogromny zamek z drzwiami oznaczonymi S, D i J. Cyfra 0 próbuje wejść przez drzwi setek, ale wielki strażnik wyrzuca ją na trampolinę. Na końcu korytarza cyfry parzyste tańczą przy drzwiach jedności. Ten absurdalny obraz przypomina dwa kluczowe warunki: zero nie może stać na początku, a parzystość sprawdzamy na końcu.

Przykład krok po kroku: liczby z powtórzeniami

Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

• Krok 1: na miejscu setek są 4 możliwości.
• Krok 2: na miejscu dziesiątek są 4 możliwości.
• Krok 3: na miejscu jedności są 4 możliwości.
• Krok 4: 4·4·4=64.
• Wynik: można utworzyć 64 liczby.

Przykład krok po kroku: liczby bez powtórzeń

Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4 bez powtórzeń?

• Krok 1: setki — 4 możliwości.
• Krok 2: dziesiątki — 3 pozostałe cyfry.
• Krok 3: jedności — 2 pozostałe cyfry.
• Krok 4: 4·3·2=24.
• Wynik: można utworzyć 24 liczby.

Przykład krok po kroku: zero w zbiorze cyfr

Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3 bez powtórzeń?

• Krok 1: na miejscu setek nie może być 0, więc są 3 możliwości.
• Krok 2: po wyborze setek zostają 3 cyfry.
• Krok 3: na jedności zostają 2 cyfry.
• Krok 4: 3·3·2=18.
• Wynik: można utworzyć 18 liczb.

Przykład krok po kroku: liczby parzyste

Ile parzystych liczb trzycyfrowych bez powtórzeń można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

• Krok 1: liczba parzysta musi kończyć się cyfrą 0 lub 2.
• Przypadek A: jedności=0. Setki wybieramy spośród 1, 2, 3 — 3 możliwości, dziesiątki — 2 możliwości. Otrzymujemy 3·2=6.
• Przypadek B: jedności=2. Setki mogą być 1 lub 3 — 2 możliwości, dziesiątki — 2 możliwości. Otrzymujemy 2·2=4.
• Krok 2: dodajemy przypadki 6+4=10.
• Wynik: istnieje 10 takich liczb.

Przykład krok po kroku: liczby większe od 500

Ile liczb trzycyfrowych bez powtórzeń można utworzyć z cyfr 2, 4, 5, 7, jeśli liczba ma być większa od 500?

• Krok 1: cyfra setek musi być 5 lub 7 — 2 możliwości.
• Krok 2: cyfra dziesiątek — 3 pozostałe możliwości.
• Krok 3: cyfra jedności — 2 pozostałe możliwości.
• Krok 4: 2·3·2=12.
• Wynik: można utworzyć 12 liczb.

Najczęstsze błędy

• Dopuszczanie zera na pierwszej pozycji.
• Stosowanie tej samej liczby możliwości mimo zakazu powtórzeń.
• Sprawdzanie parzystości na pierwszej cyfrze zamiast na ostatniej.
• Łączenie przypadków, które nie są rozłączne.
• Dodawanie zamiast mnożenia możliwości kolejnych pozycji.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy liczba miejsc odpowiada liczbie cyfr w szukanej liczbie.
• Zaznacz osobno pierwszą i ostatnią pozycję, jeśli mają szczególne warunki.
• Przy zakazie powtórzeń upewnij się, że liczba możliwości maleje.
• Przy małej liczbie cyfr wypisz kilka przykładów i sprawdź schemat.
• Jeśli rozbijasz na przypadki, sprawdź, czy każdy wynik należy dokładnie do jednego przypadku.

Najczęstsze pytania