W zadaniach procentowych najpierw ustalamy, co jest podstawą, czyli pełnymi stu procentami. Dopiero potem obliczamy część, zmianę wartości lub odtwarzamy wielkość początkową.
Pojęcia, od których zaczynamy
Procent oznacza setną część: \(p\%=\frac{p}{100}\). Dwadzieścia procent ze stu pięćdziesięciu to trzydzieści, bo \(0{,}2\cdot150=30\). Liczba procentów nie jest automatycznie liczbą złotych ani osób; wynik zależy od wielkości całej grupy.
Przy wzroście doliczamy część do dotychczasowej całości, a przy obniżce ją odejmujemy. Wzrost o osiem procent oznacza zachowanie stu procent i dodanie ośmiu, czyli mnożnik \(1{,}08\). Obniżka o piętnaście procent zostawia osiemdziesiąt pięć procent, czyli mnożnik \(0{,}85\).
Zasada i zapis
Plus stosujemy przy wzroście, minus przy spadku. p jest liczbą procentów. Przy zwykłej obniżce ceny p mieści się od zera do stu.
Jak czytać rysunek?
Strzałki pokazują cenę sto, potem sto dwadzieścia i wreszcie dziewięćdziesiąt sześć. Drugi procent jest liczony już od nowej ceny, nie od początkowej setki. Dlatego równe liczby procentów wzrostu i spadku nie znoszą się.
Przykład krok po kroku
Po obniżce o piętnaście procent cena wynosi trzysta czterdzieści złotych. Znajdź cenę początkową.
- Oznacz początkową cenę przez x. Po obniżce pozostaje osiemdziesiąt pięć procent tej ceny.\(0{,}85x=340\)
- Podziel przez pozostały współczynnik, zamiast dodawać piętnaście procent do nowej ceny.\(x=\frac{340}{0{,}85}=400\)
- Sprawdź rabat i wynik końcowy.\(0{,}15\cdot400=60,\qquad400-60=340\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Wzrost z osiemdziesięciu do stu wynosi dwadzieścia jednostek, ale procentowo \(\frac{100-80}{80}\cdot100\%=25\%\). Powrót ze stu do osiemdziesięciu to spadek o dwadzieścia procent. Kierunek porównania zmienia mianownik.
Jeśli dwadzieścia pięć procent pewnej liczby wynosi pięćdziesiąt, równanie to \(0{,}25x=50\), więc \(x=200\). Odróżniaj pytanie o część od pytania o całość. Gdy udział wzrasta z czterdziestu do pięćdziesięciu procent, różnica wynosi dziesięć punktów procentowych, a względna zmiana dwadzieścia pięć procent.