Zadania procentowe

Wyobraź sobie sklep, w którym cena plecaka wynosi 80 dolarów, a na metce pojawia się rabat 25%. Nie wystarczy wykonać przypadkowego działania. Najpierw trzeba ustalić, czym jest całość, ile wynosi procent i czy szukamy części, całości czy wartości procentowej.

Konkret: trzy elementy zadania procentowego

• Całość — wartość odpowiadająca 100%.
• Procent — informacja, jaką część całości rozpatrujemy.
• Część — wartość odpowiadająca danemu procentowi.

W przykładzie z plecakiem 80 dolarów to 100%, 25% to rabat, a szukaną częścią jest kwota obniżki.

Reprezentacja: mapa trzech typów zadań

• Gdy znasz całość i procent, obliczasz część.
• Gdy znasz część i całość, obliczasz, ile procent stanowi część.
• Gdy znasz część i procent, obliczasz całość.
• Przy podwyżce dodajesz obliczoną część do wartości początkowej.
• Przy obniżce odejmujesz obliczoną część od wartości początkowej.

Abstrakcja: podstawowe zależności

• p% liczby a = (p/100)·a.
• Procent, jaki stanowi b z a = (b/a)·100%.
• Jeśli p% pewnej liczby wynosi b, to całość = b:(p/100).
• Wartość po wzroście o p% = wartość początkowa·(1+p/100).
• Wartość po spadku o p% = wartość początkowa·(1−p/100).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-R-O-C-E-N-T: Przeczytaj pytanie, Rozpoznaj całość, Oznacz 100%, Czego szukasz ustal, Equation zapisz, Nalicz wynik, Test sensu wykonaj. W pałacu pamięci 100% siedzi na ogromnej kanapie, procent jest małym robotem odcinającym kawałek tortu, a szukana wartość wyskakuje z pudełka dopiero wtedy, gdy poprawnie wskażesz całość.

Przykład krok po kroku: obliczanie części

Oblicz 30% z 250.

• Całość: 250.
• Procent: 30%.
• Zapis: 30/100·250.
• Obliczenie: 0,3·250=75.
• Odpowiedź: 30% z 250 to 75.

Przykład krok po kroku: jaki to procent?

W klasie jest 24 uczniów, a 18 zdało test. Jaki procent uczniów zdał?

• Całość: 24 uczniów.
• Część: 18 uczniów.
• Zapis: 18/24·100%.
• Obliczenie: 0,75·100%=75%.
• Odpowiedź: test zdało 75% uczniów.

Przykład krok po kroku: obliczanie całości

35% pewnej liczby wynosi 84. Oblicz tę liczbę.

• Część: 84.
• Procent: 35%.
• Zapis: 0,35·x=84.
• Obliczenie: x=84:0,35=240.
• Odpowiedź: szukana liczba to 240.

Przykład krok po kroku: rabat

Plecak kosztował 80 dolarów. Obniżono jego cenę o 25%. Ile kosztuje po obniżce?

• Całość początkowa: 80 dolarów.
• Kwota rabatu: 25/100·80=20 dolarów.
• Nowa cena: 80−20=60 dolarów.
• Można też użyć mnożnika: 80·0,75=60 dolarów.
• Odpowiedź: plecak kosztuje 60 dolarów.

Przykład krok po kroku: podwyżka

Wartość urządzenia wynosiła 1500. Wzrosła o 8%. Oblicz nową wartość.

• Przyrost: 8/100·1500=120.
• Nowa wartość: 1500+120=1620.
• Mnożnik wzrostu: 1+0,08=1,08.
• Sprawdzenie: 1500·1,08=1620.

Przykład krok po kroku: dwie kolejne zmiany

Cenę podwyższono o 20%, a potem obniżono o 20%. Czy wróciła do wartości początkowej?

• Przyjmijmy cenę początkową 100.
• Po podwyżce: 100·1,20=120.
• Po obniżce: 120·0,80=96.
• Wartość końcowa jest o 4 mniejsza od początkowej.
• Wniosek: podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się.

Najczęstsze błędy

• Mylenie części z całością.
• Traktowanie procentu jako zwykłej liczby bez podzielenia przez 100.
• Dodawanie procentu zamiast wartości procentowej.
• Odejmowanie rabatu od 100 zamiast od ceny.
• Zakładanie, że wzrost i spadek o ten sam procent się równoważą.
• Brak jednostki lub odpowiedzi słownej.

Kontrola rozwiązania

• Czy wskazałem wartość odpowiadającą 100%?
• Czy wiem, czy szukam części, procentu czy całości?
• Czy zamieniłem procent na ułamek lub liczbę dziesiętną?
• Czy wynik ma sens: część przy procencie poniżej 100% nie powinna być większa od całości?
• Czy po obniżce wynik jest mniejszy, a po podwyżce większy?

Najczęstsze pytania