Fiszki – Trygonometria

Sinus kąta ostrego

Przyprostokątna naprzeciw kąta podzielona przez przeciwprostokątną.

Cosinus kąta ostrego

Przyprostokątna przy kącie podzielona przez przeciwprostokątną.

Tangens kąta ostrego

Przyprostokątna naprzeciw kąta podzielona przez przyprostokątną przy nim.

Czy tangens kąta ostrego może przekroczyć jeden?

Tak, gdy przyprostokątna naprzeciw kąta jest dłuższa od drugiej.

Brakująca przyprostokątna

\(b=\sqrt{c^2-a^2}\), gdy \(c\) jest przeciwprostokątną.

Przeciwprostokątna z przyprostokątnych

\(c=\sqrt{a^2+b^2}\).

Zakres sinusa kąta ostrego

\(0\lt\sin\alpha\lt1\).

Dlaczego wartości funkcji nie mają jednostki długości?

Są ilorazami długości podanych w tej samej jednostce.

\(\sin30^\circ\)

\(\frac12\).

\(\cos30^\circ\)

\(\frac{\sqrt3}{2}\).

\(\sin45^\circ=\cos45^\circ\)

\(\frac{\sqrt2}{2}\).

\(\tan30^\circ\) i \(\tan60^\circ\)

Odpowiednio \(\frac{\sqrt3}{3}\) i \(\sqrt3\).

Zależność tangensa

\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) przy \(\cos\alpha\neq0\).

Jedynka trygonometryczna

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Sinus kąta dopełniającego

\(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\).

Cosinus kąta dopełniającego

\(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\).

Suma kwadratów sinusa i cosinusa

\(1\).

Kwadrat cosinusa z sinusa

\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\).

Kwadrat sinusa z cosinusa

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\).

Czy kwadrat wyznacza znak liczby?

Nie. Dodatnia i ujemna liczba o tej samej wartości bezwzględnej mają jednakowe kwadraty.

Bok naprzeciw kąta z przeciwprostokątnej

\(a=c\sin\alpha\).

Przyprostokątna przy kącie z przeciwprostokątnej

\(b=c\cos\alpha\).

Bok naprzeciw kąta z drugiej przyprostokątnej

\(a=b\tan\alpha\).

Drugi kąt ostry

\(\beta=90^\circ-\alpha\).

Twierdzenie sinusów

\(\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}\).

Który kąt odpowiada bokowi \(a\)?

Kąt \(\alpha\) leżący naprzeciw tego boku.

Promień okręgu opisanego

\(R=\frac a{2\sin\alpha}\).

Suma kątów trójkąta

\(180^\circ\).

Twierdzenie cosinusów

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\).

Cosinus kąta z trzech boków

\(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).

Co otrzymujemy dla kąta prostego?

Twierdzenie Pitagorasa, bo \(\cos90^\circ=0\).

Znak cosinusa kąta rozwartego

Ujemny.

Pole z dwóch boków i kąta między nimi

\(P=\frac12ab\sin\gamma\).

Wysokość wyrażona przez bok \(b\)

\(h=b\sin\gamma\).

Maksymalne pole przy bokach \(a,b\)

\(\frac{ab}{2}\), dla kąta \(90^\circ\).

Jednostka pola dla boków w centymetrach

\(\text{cm}^2\).

Dwa kąty i jeden bok

Suma kątów, następnie twierdzenie sinusów.

Dwa boki i kąt między nimi

Twierdzenie cosinusów.

Trzy boki

Oblicz cosinus jednego z kątów.

Pełna para bok–kąt

Bok oraz kąt naprzeciw niego.

Różnica wysokości z odległości poziomej

\(h=d\tan\alpha\).

Wysokość z długości ukośnej

\(h=l\sin\alpha\).

Odległość pozioma z długości ukośnej

\(d=l\cos\alpha\).

Nachylenie procentowe

\(\frac hd\cdot100\%\), przy poziomej odległości \(d\).