Fiszki – Stereometria – geometria przestrzenna

Czym proste skośne różnią się od równoległych?

Skośne nie leżą w jednej płaszczyźnie. Równoległe można umieścić w jednej płaszczyźnie i mają ten sam kierunek.

Czy dwie różne płaszczyzny mogą przeciąć się tylko w punkcie?

Nie. Jeśli nie są równoległe, przecinają się wzdłuż całej prostej.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny przez punkt przebicia.

Warunek wystarczający prostopadłości

Dwie przecinające się proste płaszczyzny, prostopadłe do danej prostej w punkcie przebicia.

Jakie drugie ramię wybrać dla kąta prostej z płaszczyzną?

Rzut prostopadły tej prostej na płaszczyznę, o ile prosta nie jest prostopadła do płaszczyzny. W przypadku prostopadłości kąt ma \(90^\circ\).

Jak znaleźć kąt ściany bocznej z podstawą ostrosłupa prawidłowego?

Wybierz przekrój przez szczyt, środek podstawy i środek jej boku. Kąt tworzą wysokość ściany i jej rzut na podstawę.

Rzut przekątnej sześcianu na podstawę

Przekątna kwadratu podstawy.

Sinus kąta przekątnej sześcianu z podstawą

\(\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).

Czy krawędź boczna zawsze jest wysokością graniastosłupa?

Nie. Jest nią w graniastosłupie prostym. W pochyłym wysokość jest prostopadłą odległością płaszczyzn podstaw.

Kiedy działa wzór \(P_b=O_pH\)?

W graniastosłupie prostym, którego ściany boczne są prostokątami o wspólnej wysokości H.

Objętość dowolnego graniastosłupa

\(V=P_pH\).

Pole całkowite graniastosłupa

\(P_c=2P_p+P_b\).

Co oznacza prawidłowość graniastosłupa?

Jest prosty i ma foremną podstawę. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.

Czy prawidłowy czworokątny musi być sześcianem?

Nie. Ma kwadratową podstawę, ale wysokość może być inna niż bok tego kwadratu.

Pole boczne przy n bokach podstawy

\(P_b=naH\).

Podstawa prawidłowego trójkątnego

Trójkąt równoboczny.

Czym przekątna ściany różni się od przekątnej bryły?

Pierwsza leży na jednej ścianie. Druga łączy wierzchołki nieleżące na wspólnej ścianie i biegnie przez wnętrze bryły.

Dlaczego we wzorze na pole prostopadłościanu jest współczynnik 2?

Każdy z trzech rodzajów ścian występuje dwa razy: po dwie ściany o polach ab, ac i bc.

Przekątna prostopadłościanu

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Przekątne sześcianu

Ściany: \(a\sqrt2\). Bryły: \(a\sqrt3\).

Czy wysokość ostrosłupa musi padać w środek podstawy?

Nie. Taką własność ma ostrosłup prawidłowy, ale dowolny ostrosłup może mieć spodek w innym miejscu, nawet poza podstawą.

Czy do objętości można użyć krawędzi bocznej zamiast wysokości?

Tylko jeśli ta krawędź jest rzeczywiście prostopadła do podstawy. Zwykle potrzebna jest osobno wyznaczona wysokość bryły.

Objętość ostrosłupa

\(V=\frac13P_pH\).

Pole całkowite ostrosłupa

\(P_c=P_p+P_b\).

Czym apotema ostrosłupa różni się od jego wysokości?

Apotema jest wysokością ściany bocznej i pada w środek boku podstawy. Wysokość bryły pada w środek całej podstawy.

Którego promienia podstawy użyć do krawędzi bocznej?

Promienia R prowadzącego od środka do wierzchołka podstawy. Dla apotemy używamy promienia r do środka boku.

Apotema ostrosłupa

\(l^2=H^2+r^2\).

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego

\(e^2=H^2+R^2\).

Skąd bierze się pole boczne walca?

Rozwinięcie powierzchni bocznej jest prostokątem o bokach \(2\pi r\) i H, więc jego pole to \(2\pi rH\).

Jakie wymiary ma przekrój osiowy walca?

Jest prostokątem o szerokości \(2r\), czyli średnicy podstawy, i wysokości H.

Objętość walca

\(V=\pi r^2H\).

Pole całkowite zamkniętego walca

\(P_c=2\pi r^2+2\pi rH\).

Do czego używamy wysokości, a do czego tworzącej stożka?

Wysokość H występuje we wzorze na objętość, a tworząca l we wzorze na pole boczne.

Jaki kształt ma rozwinięcie powierzchni bocznej stożka?

Wycinek koła o promieniu równym tworzącej l i długości łuku równej obwodowi podstawy \(2\pi r\).

Tworząca stożka

\(l=\sqrt{r^2+H^2}\).

Pole boczne stożka

\(P_b=\pi rl\).

Czym sfera różni się od kuli?

Sfera jest powierzchnią z punktów w odległości dokładnie r od środka. Kula zawiera sferę oraz całe wnętrze.

Jak zmieniają się pole i objętość po podwojeniu promienia?

Pole rośnie czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie, ponieważ zależą odpowiednio od kwadratu i sześcianu promienia.

Pole sfery

\(P=4\pi r^2\).

Objętość kuli

\(V=\frac43\pi r^3\).

Czy pole całkowite i pole boczne są tym samym?

Nie. Pole całkowite uwzględnia również podstawy, a pole boczne je pomija.

Jak liczyć powierzchnię po sklejeniu dwóch brył całymi ścianami?

Dodaj pola obu brył i odejmij dwa razy pole styku, ponieważ obie sklejone ściany przestają należeć do powierzchni zewnętrznej.

Jednostka pola powierzchni

Jednostka kwadratowa, np. \(\text{cm}^2\).

Pole pudełka bez pokrywki

Pole dna i wszystkich ścian bocznych.

Czym objętość różni się od pola powierzchni?

Objętość mierzy przestrzeń zajętą przez bryłę i ma jednostkę sześcienną. Pole powierzchni mierzy zewnętrzną powłokę i ma jednostkę kwadratową.

Kiedy we wzorze na objętość dzielimy przez trzy?

Dla ostrosłupa i stożka: \(V=\frac13P_pH\). Graniastosłup i walec mają \(V=P_pH\).

Jeden litr

\(1\text{ l}=1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3\).

Wysokość z objętości graniastosłupa

\(H=\frac{V}{P_p}\).

Dlaczego przekątną graniastosłupa prostego liczymy Pitagorasem?

Jej rzut na podstawę jest prostopadły do wysokości. Te odcinki wraz z przekątną tworzą trójkąt prostokątny.

Czy każdy graniastosłup ma przekątną przestrzenną?

Nie. Graniastosłup trójkątny nie ma pary wierzchołków nieleżących na wspólnej ścianie, więc nie ma przekątnych przestrzennych.

Przekątna prostego graniastosłupa

\(d=\sqrt{d_p^2+H^2}\), gdzie \(d_p\) jest rzutem tej przekątnej na podstawę.

Przekątna ściany i bryły sześcianu

Odpowiednio \(a\sqrt2\) oraz \(a\sqrt3\).

Czy przekrój jest tym samym co siatka?

Nie. Przekrój powstaje przez przecięcie płaszczyzną, a siatka przez rozłożenie powierzchni bryły na płasko.

Czy każdy przekrój sześcianu jest kwadratem?

Nie. Zależnie od płaszczyzny cięcia może być np. prostokątem, trójkątem lub sześciokątem.

Przekrój osiowy walca

Prostokąt o bokach \(2r,H\) i polu \(2rH\).

Przekrój osiowy stożka

Trójkąt o podstawie \(2r\), wysokości \(H\) i polu \(rH\).

Kiedy w bryle wolno użyć twierdzenia Pitagorasa?

Gdy wskazane odcinki są bokami trójkąta prostokątnego. Prostopadłość musi wynikać z danych lub własności bryły.

Kiedy dodajemy, a kiedy odejmujemy kwadraty długości?

Szukając przeciwprostokątnej, dodajemy kwadraty przyprostokątnych. Szukając przyprostokątnej, odejmujemy od kwadratu przeciwprostokątnej kwadrat drugiej przyprostokątnej.

Tworząca stożka

\(l=\sqrt{r^2+H^2}\).

Wysokość stożka z tworzącej

\(H=\sqrt{l^2-r^2}\).

Jak znaleźć kąt odcinka z podstawą?

Wyznacz rzut prostopadły odcinka na podstawę. Dla odcinka nieprostopadłego szukany kąt jest kątem między odcinkiem i jego rzutem.

Jak odróżnić sinus od cosinusa?

Oba mają w mianowniku przeciwprostokątną. W liczniku sinus ma przyprostokątną naprzeciw kąta, a cosinus przyprostokątną przy kącie.

Tangens kąta nachylenia

\(\tan\alpha=\frac{H}{p}\), gdzie \(p\gt0\) jest długością rzutu, a \(H\) wysokością.

Kąt ściany z podstawą

Mierzymy w przekroju prostopadłym do ich wspólnej krawędzi.

Czy wystarczy podwoić jeden wymiar, aby uzyskać bryłę podobną?

Nie. Wszystkie odpowiadające długości muszą zmienić się w tej samej skali.

Jak wyznaczyć skalę długości ze stosunku objętości?

Wyciągnij dodatni pierwiastek trzeciego stopnia ze stosunku objętości, zachowując tę samą kolejność brył.

Skala pól powierzchni

\(\frac{P_2}{P_1}=k^2\).

Skala objętości

\(\frac{V_2}{V_1}=k^3\).

Czy pojemność liczymy z zewnętrznych wymiarów zbiornika?

Pojemność dotyczy wnętrza, dlatego potrzebne są wymiary wewnętrzne albo informacja pozwalająca uwzględnić grubość ścian.

Czy liczbę pojemników zawsze zaokrąglamy w górę?

W górę, gdy mają pomieścić całą ciecz. W dół, gdy pytanie dotyczy liczby pojemników napełnionych całkowicie z dostępnej ilości.

Metr sześcienny w litrach

\(1\text{ m}^3=1000\text{ l}\).

Materiał na etykietę walca

Pole boczne \(2\pi rH\), bez pól podstaw.