Rozstęp to różnica największej i najmniejszej obserwacji. Pokazuje szerokość przedziału obejmującego wszystkie dane, lecz nie opisuje ich rozmieszczenia wewnątrz tego przedziału.
Pojęcia, od których zaczynamy
Minimum oznacza najmniejszą wartość, a maksimum największą. Nie trzeba najpierw obliczać średniej ani liczyć powtórzeń. W danych \(3,5,5,8,12\) interesują nas trzy i dwanaście. Kolejność zapisu nie wpływa na wynik.
Rozstęp można odczytać na osi liczbowej jako odległość między skrajnymi punktami. Odległość nie jest ujemna, dlatego odejmujemy minimum od maksimum. Jednostka pozostaje taka sama jak jednostka danych. Dla pomiarów długości w centymetrach rozstęp też podajemy w centymetrach, nie w centymetrach kwadratowych.
Zasada i zapis
\(x_{\max}\) to maksimum, \(x_{\min}\) minimum. Dla niepustego zbioru liczbowego rozstęp jest nieujemny.
Jak czytać rysunek?
Skrajne punkty na osi to minus pięć i osiem. Odcinek od minus pięciu do zera ma długość pięć, a od zera do ośmiu długość osiem. Razem trzynaście. Punkty wewnętrzne nie zmieniają długości tego odcinka.
Przykład krok po kroku
Oblicz rozstęp danych \(-5,2,8\).
- Wskaż największą i najmniejszą wartość, uwzględniając znak.\(x_{\max}=8,\quad x_{\min}=-5\)
- Podstaw ujemne minimum w nawiasie.\(R=8-(-5)\)
- Odejmowanie liczby ujemnej zamień na dodawanie.\(R=8+5=13\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dla danych \(4,4,4\) rozstęp wynosi zero, ponieważ maksimum równa się minimum. Dla jednej obserwacji również otrzymamy zero. Zbioru pustego nie da się tak opisać, bo nie ma minimum ani maksimum.
Dodanie tej samej liczby do wszystkich danych nie zmienia rozstępu. Pomnożenie ich przez czynnik \(c\) mnoży rozstęp przez \(|c|\). Przykładowo podwojenie pomiarów podwaja rozstęp. Dopisanie liczby między dotychczasowymi skrajnościami pozostawia rozstęp bez zmian, a nowej wartości poza nimi może go zwiększyć. Równe rozstępy nie gwarantują równych średnich ani podobnego rozkładu.