Fiszki – Równania i nierówności

Co oznacza \(3x\)?

\(3\cdot x\), czyli trzy razy liczba \(x\).

Jakie działanie usuwa dodany składnik?

Odjęcie tego składnika od obu stron równania.

Jak przejść z \(-2x=6\) do wartości x?

Podzielić obie strony przez minus dwa: \(x=-3\).

Co należy pomnożyć podczas usuwania mianowników?

Każdy składnik po obu stronach równania.

Co oznacza końcowa równość \(2=5\)?

Równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązań.

Gdzie podstawiamy znalezioną wartość podczas sprawdzania?

Do pierwotnego równania; osobno obliczamy wartości lewej i prawej strony.

Rozwiąż \(2x\lt8\).

\(x\lt4\).

Rozwiąż \(-x\geq3\).

\(x\leq-3\).

Jaki przedział opisuje \(x\gt1\)?

\((1;+\infty)\).

Jaki przedział opisuje \(x\leq4\)?

\((-\infty;4]\).

Co oznacza zamalowany punkt na końcu zaznaczonego przedziału?

Liczba graniczna należy do zbioru rozwiązań.

Ile wynosi \(|-7|\)?

\(7\).

Jak rozpisujemy \(|u|=r\) dla \(r\gt0\)?

\(u=r\) lub \(u=-r\).

Co wynika z \(|u|=0\)?

\(u=0\).

Rozwiąż \(|x+2|=4\).

\(x=2\) lub \(x=-6\).

Co robimy przed rozpisaniem przypadków?

Izolujemy moduł i sprawdzamy znak prawej strony.

Znaczenie \(|x-a|\)

Odległość liczby \(x\) od liczby \(a\) na osi.

Rozwiązanie \(|x|\lt r\), gdy \(r\gt0\)

\(-r\lt x\lt r\).

Rozwiązanie \(|x|\ge r\), gdy \(r\gt0\)

\(x\le-r\) lub \(x\ge r\).

Rozwiązanie \(|u|=0\)

\(u=0\), z uwzględnieniem dziedziny wyrażenia \(u\).

Znaczenie zamalowanego końca przedziału

Wartość graniczna należy do zbioru rozwiązań.

Postać ogólna równania kwadratowego

\(ax^2+bx+c=0\), przy \(a\ne0\).

Warunek zerowego iloczynu

\(uv=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(u=0\) lub \(v=0\).

Wszystkie rozwiązania \(x^2=9\)

\(x=-3\) lub \(x=3\).

Wzór na deltę

\(\Delta=b^2-4ac\).

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie kwadratowe?

Dwa dla \(\Delta\gt0\), jedno dla \(\Delta=0\), żadnego dla \(\Delta\lt0\).

Wyróżnik trójmianu

\(\Delta=b^2-4ac\), dla współczynników postaci \(ax^2+bx+c\).

Wzory przy dodatniej delcie

\(x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\), \(x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).

Rozwiązanie przy zerowej delcie

\(x=-\frac{b}{2a}\).

Ujemna delta w równaniu kwadratowym

Brak rozwiązań rzeczywistych.

Wartość \((-3)^2\)

\(9\); do kwadratu podnosimy całą liczbę ujemną.

Suma pierwiastków \(ax^2+bx+c=0\)

\(x_1+x_2=-\frac ba\), jeśli pierwiastki rzeczywiste istnieją.

Iloczyn pierwiastków \(ax^2+bx+c=0\)

\(x_1x_2=\frac ca\), jeśli pierwiastki rzeczywiste istnieją.

Ujemny iloczyn dwóch rzeczywistych pierwiastków

Pierwiastki mają przeciwne znaki.

Równanie moniczne o sumie \(S\) i iloczynie \(P\) pierwiastków

\(x^2-Sx+P=0\).

Suma kwadratów pierwiastków

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\).

Co oznacza \(f(x)\gt0\) na wykresie?

Punkty wykresu leżą ponad osią poziomą.

Znaki przy \(a\gt0\) i dwóch różnych pierwiastkach

Dodatni na zewnątrz pierwiastków, ujemny pomiędzy nimi.

Czy końce należą do rozwiązania \(f(x)\lt0\)?

Miejsca zerowe nie należą, ponieważ znak nierówności jest ostry.

Jak zmienia się znak nierówności po mnożeniu przez \(-1\)?

Odwraca się, np. \(\le\) przechodzi w \(\ge\).

Rozwiązanie \((x-4)^2\le0\)

Tylko \(x=4\), ponieważ kwadrat jest nieujemny.

Pierwszy cel przekształceń równania wielomianowego

Przenieść wszystko na jedną stronę, aby druga była równa zeru.

Rozkład \(x^3-4x\)

\(x(x-2)(x+2)\).

Liczba różnych rozwiązań \((x-1)^2(x+2)=0\)

Dwa: \(1\) i \(-2\).

Dziedzina pomocniczej zmiennej \(t=x^2\)

\(t\ge0\).

Rozwiązania rzeczywiste \(x^2+1=0\)

Brak, ponieważ \(x^2+1\ge1\).

Co wykluczamy z dziedziny równania wymiernego?

Wartości zerujące co najmniej jeden pierwotny mianownik.

Dziedzina \(\frac1{x-2}\)

\(x\ne2\).

Warunek \(\frac AB=0\)

\(A=0\) oraz \(B\ne0\).

Zasada mnożenia przez wspólny mianownik

Mnożymy każdy składnik po obu stronach i pracujemy w ustalonej dziedzinie.

Rozwiązania \(\frac{x-2}{x-2}=1\)

Wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(2\).

Znak parzystej potęgi rzeczywistej podstawy

Nieujemny.

Wszystkie rozwiązania \(x^4=81\)

\(x=-3\) lub \(x=3\).

Rozwiązanie \(x^3=-125\)

\(x=-5\).

Rozwiązania rzeczywiste \(x^6=-64\)

Brak.

Rozwiązanie \(u^n=0\) przy całkowitym \(n\ge1\)

\(u=0\).

Wartość \(a^0\) dla \(a\gt0\)

\(1\).

Znaczenie ujemnego wykładnika

\(a^{-n}=\frac1{a^n}\), dla \(a\gt0\).

Zapis \(4^x\) przy podstawie \(2\)

\(2^{2x}\).

Zbiór wartości \(t=2^x\)

\(t\in(0;+\infty)\).

Rozwiązania rzeczywiste \(2^x=0\)

Brak: potęga dodatniej podstawy jest dodatnia.

Definicja \(\log_a b=c\)

\(a^c=b\), przy \(a\gt0\), \(a\ne1\), \(b\gt0\).

Dziedzina \(\log_2(x-1)\)

\(x\gt1\).

Wartość \(\log_a1\) dla poprawnej podstawy

\(0\).

Suma logarytmów o wspólnej podstawie

\(\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)\), przy poprawnej podstawie i \(u,v\gt0\).

Dziedzina \(\log_3(x^2)\)

\(x\ne0\), ponieważ argumentem jest cały kwadrat.

Rozwiązanie układu dwóch równań

Para \((x,y)\) spełniająca jednocześnie oba równania.

Cel metody podstawiania

Zastąpić jedną zmienną równym jej wyrażeniem, aby otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

Warunek eliminacji przez dodanie równań

Współczynniki jednej niewiadomej muszą być przeciwne.

Układ oznaczony, sprzeczny i nieoznaczony

Odpowiednio: jedno rozwiązanie, brak rozwiązań, nieskończenie wiele rozwiązań.

Sprawdzenie znalezionej pary

Podstaw tę samą parę do każdego równania początkowego.

Geometria rozwiązania układu

Rozwiązanie \((x,y)\) jest punktem wspólnym obu wykresów.

Podstawienie \(y=2x\) do \(y^2\)

\((2x)^2=4x^2\).

Rozwiązania \(y=x+2,\ y=x^2\)

Pary \((-1,1)\) oraz \((2,4)\).

Kolejny krok po wyznaczeniu \(x\)

Dla każdej wartości \(x\) osobno oblicz \(y\), a potem sprawdź parę.

Prosta \(y=ax+b\) styczna do paraboli \(y=Ax^2+Bx+C\), \(A\ne0\)

Po podstawieniu powstaje równanie kwadratowe z deltą równą zero.

Zapis „co najwyżej \(50\)”

Wskazana wielkość jest \(\le50\); równość jest dozwolona.

Zapis „co najmniej \(50\)”

Wskazana wielkość jest \(\ge50\); równość jest dozwolona.

Cena po obniżce o \(20\%\) ceny \(x\)

\(0{,}8x\).

Dwie kolejne liczby całkowite

\(x\) i \(x+1\), przy \(x\in\mathbb Z\).

Ostatni krok zadania tekstowego

Sprawdzenie warunków i odpowiedź na pytanie z właściwą jednostką.