Fiszki – Rachunek prawdopodobieństwa

Czy losowość oznacza równe szanse wyników?

Nie. Doświadczenie może być losowe także przy nierównych prawdopodobieństwach, np. dla obciążonej kostki.

Co zmienia zwracanie wylosowanego przedmiotu?

Ze zwracaniem przywracamy pulę przed kolejnym losowaniem. Bez zwracania przedmiot znika z puli i nie może być ponownie wylosowany w tej samej próbie.

Pełny opis doświadczenia

Zasady, liczba etapów, sposób zapisu wyników i możliwe wyniki.

Wynik OR w dwóch kolejnych rzutach

Orzeł w pierwszym rzucie, reszka w drugim.

Czym zdarzenie różni się od jego liczebności?

Zdarzenie jest zbiorem wyników, np. \(A=\{2,4,6\}\). Liczebność to liczba elementów tego zbioru: \(|A|=3\).

Co oznacza zdarzenie przeciwne?

Wszystkie wyniki z przestrzeni \(\Omega\), które nie spełniają warunku zdarzenia A: \(A'=\Omega\setminus A\).

Część wspólna zdarzeń

\(A\cap B\): oba warunki zachodzą jednocześnie.

Suma zdarzeń

\(A\cup B\): zachodzi co najmniej jeden warunek.

Czy przestrzeń wyników musi mieć jednakowo prawdopodobne elementy?

Nie. Równe szanse są dodatkowym warunkiem użycia klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo, a nie warunkiem istnienia przestrzeni wyników.

Dlaczego przy dwóch rzutach kostką zwykle liczymy 36 par, a nie 11 sum?

Pary zachowują wyniki obu rzutów i przy niezależnych uczciwych kostkach mają równe szanse. Jedenaście sum też może tworzyć model, lecz sumy nie są równoprawdopodobne.

Warunek kompletności przestrzeni

Każdy możliwy rezultat odpowiada dokładnie jednemu elementowi \(\Omega\).

Moneta i sześcienna kostka

\(|\Omega|=2\cdot6=12\), gdy zapisujemy oba wyniki.

Dlaczego dzielimy przez liczbę wszystkich wyników?

Szukamy udziału wyników sprzyjających w całej skończonej przestrzeni równych szans, nie stosunku sukcesów do porażek.

Czy każda suma oczek dwóch kostek ma tę samą szansę?

Nie. Przy niezależnych uczciwych kostkach jednakowo prawdopodobne są uporządkowane pary, a różne sumy powstają z różnej liczby par.

Co oznacza \(|A|\)?

Liczbę wyników należących do zdarzenia \(A\).

Jakie wartości może mieć prawdopodobieństwo?

Od zera do jedności, z oboma końcami włącznie.

Kiedy warto liczyć zdarzenie przeciwne?

Gdy łatwiej opisać i policzyć wyniki niespełniające warunku, np. brak sukcesów zamiast co najmniej jednego sukcesu.

Czy dwa zdarzenia rozłączne zawsze są przeciwne?

Nie. Muszą dodatkowo obejmować wszystkie możliwe wyniki doświadczenia.

Przeciwieństwo „dokładnie dwa”?

Liczba sukcesów inna niż dwa.

Przeciwieństwo \(x\gt4\)?

\(x\le4\), w obrębie przyjętej przestrzeni wyników.

Dlaczego odejmujemy część wspólną?

Dodając prawdopodobieństwa obu zdarzeń, liczymy ją dwa razy. Odejmowanie usuwa tylko nadmiar, pozostawiając ją w sumie raz.

Czy „lub” oznacza dokładnie jedno zdarzenie?

Zwykle nie. W matematyce suma obejmuje również jednoczesne zajście obu zdarzeń.

Co oznacza \(A\cup B\)?

Zajście co najmniej jednego z A i B.

Kiedy wystarcza \(P(A)+P(B)\)?

Gdy zdarzenia są rozłączne.

Czy słowo „i” zawsze oznacza mnożenie \(P(A)P(B)\)?

Nie. Oznacza część wspólną, a mnożenie bezwarunkowych prawdopodobieństw wymaga niezależności.

Co zmienia brak zwracania kuli?

Drugi etap odbywa się w mniejszej urnie, której skład zależy od pierwszego wyniku. Trzeba ponownie ustalić licznik i mianownik.

Co oznacza \(A\cap B\)?

Wyniki należące jednocześnie do A i do B.

Czy niezależność oznacza rozłączność?

Nie. Niezależność dotyczy wpływu informacji na szanse, a rozłączność braku wspólnych wyników.

Czy dwa kolory kul oznaczają szansę połowa na każdy?

Nie. Przy równych szansach poszczególnych kul decyduje liczba kul każdego koloru.

Czy as jest figurą w standardowym szkolnym zadaniu?

Figury to walety, damy i króle. Asy liczy się osobno; zawsze trzeba sprawdzić definicję przyjętą w poleceniu.

Ile kart ma pełna talia bez jokerów?

\(52\), po \(13\) w każdym z czterech kolorów.

Ile liczb całkowitych jest od \(a\) do \(b\) włącznie?

\(b-a+1\), gdy oba krańce są całkowite i \(a\le b\).

Czy po pięciu orłach reszka jest bardziej prawdopodobna?

Przy niezależnych rzutach uczciwą monetą nadal ma prawdopodobieństwo jednej drugiej. Poprzednia seria nie zmienia następnego rzutu.

Dlaczego rozróżniamy pary \((2,5)\) i \((5,2)\)?

Opisują inne wyniki pierwszej i drugiej kostki, mimo tej samej sumy oczek.

Ile ciągów daje czterokrotny rzut monetą?

\(2^4=16\).

Co oznacza „dokładnie dwa orły”?

Dwa wyniki O oraz reszki na wszystkich pozostałych pozycjach.

Czy w drzewku zawsze mnożymy te same ułamki?

Nie. Drugi i dalsze ułamki zależą od wcześniejszych wyników, np. od składu urny po zabraniu kuli.

Jak sprawdzić kompletność drzewka?

Prawdopodobieństwa gałęzi z każdego osiągalnego węzła oraz wszystkich pełnych ścieżek powinny sumować się do jedności.

Co robimy wzdłuż jednej ścieżki?

Mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych gałęzi.

Co robimy z rozłącznymi korzystnymi ścieżkami?

Dodajemy ich prawdopodobieństwa.

Od czego zacząć zadanie tekstowe?

Od określenia jednej pełnej próby, możliwych wyników, reguł losowania i warunku sukcesu.

Czy wynik między zerem a jednością wystarcza do uznania rozwiązania za poprawne?

Nie. To konieczna kontrola, ale błędny model również może dać liczbę z tego przedziału.

Co sprawdzić przed użyciem liczebności?

Czy skończone wyniki elementarne mają równe szanse.

Co zwykle ułatwia warunek „co najmniej jeden”?

Policzenie zdarzenia przeciwnego „ani jednego”.