Fiszki – Planimetria – geometria płaska

Kąt prosty

\(90^\circ\).

Kąt półpełny

\(180^\circ\).

Kąty wierzchołkowe

Są równe.

Kąty przyległe

Sumują się do \(180^\circ\).

Odpowiadające przy prostych równoległych

Są równe.

Naprzemianległe wewnętrzne przy prostych równoległych

Są równe.

Jednostronne wewnętrzne przy prostych równoległych

Sumują się do \(180^\circ\).

Co trzeba ustalić przed użyciem tych reguł?

Równoległość prostych i położenie porównywanych kątów.

Warunek istnienia po uporządkowaniu dodatnich boków

Suma dwóch krótszych musi być większa od najdłuższego.

Największy kąt

Leży naprzeciw najdłuższego boku.

Środkowa

Łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

Dwusieczna

Dzieli kąt na dwie równe części.

Suma kątów trójkąta

\(180^\circ\).

Trzeci kąt

\(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\).

Kąt zewnętrzny przyległy do \(\beta\)

\(\delta=\alpha+\gamma\).

Dwa kąty rozwarte w jednym trójkącie

Są niemożliwe, bo ich suma przekracza \(180^\circ\).

Proporcja dla \(45^\circ,45^\circ,90^\circ\)

\(1:1:\sqrt2\).

Proporcja dla \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\)

\(1:\sqrt3:2\).

Wysokość równobocznego o boku \(s\)

\(\frac{s\sqrt3}{2}\).

Przekątna kwadratu o boku \(s\)

\(s\sqrt2\).

Twierdzenie Pitagorasa

\(a^2+b^2=c^2\), gdzie \(c\) jest przeciwprostokątną.

Szukana przeciwprostokątna

\(c=\sqrt{a^2+b^2}\).

Szukana przyprostokątna

\(b=\sqrt{c^2-a^2}\).

Znak wybranej długości

Dodatni.

Największy bok w teście

Oznaczamy przez \(c\).

\(a^2+b^2=c^2\)

Trójkąt jest prostokątny.

\(a^2+b^2\gt c^2\), gdy \(c\) jest największy

Istniejący trójkąt jest ostrokątny.

\(a^2+b^2\lt c^2\), gdy \(c\) jest największy

Istniejący trójkąt jest rozwartokątny.

Skala od pierwszej figury do drugiej

\(k=\frac{a_2}{a_1}\) dla odpowiadających boków.

Stosunek obwodów figur podobnych

\(k\).

Stosunek pól figur podobnych

\(k^2\).

Skala przekształcenia odwrotnego

\(\frac1k\).

Cecha KK

Dwie pary równych kątów.

Cecha BBB podobieństwa

Trzy pary boków mają ten sam stosunek.

Cecha BKB podobieństwa

Dwie pary boków mają ten sam stosunek, a kąty między nimi są równe.

Pierwszy krok przed zapisaniem proporcji

Ustalenie odpowiadających sobie wierzchołków i boków.

BBB przystawania

Trzy pary równych boków.

BKB przystawania

Dwie pary równych boków oraz równe kąty zawarte między nimi.

KBK przystawania

Dwie pary równych kątów oraz równe boki między nimi.

Czy KK dowodzi przystawania?

Nie, dowodzi podobieństwa.

Podstawowy wzór na pole trójkąta

\(P=\frac{ah}{2}\).

Pole z dwóch boków i kąta między nimi

\(P=\frac12ab\sin\gamma\).

Połowa obwodu

\(s=\frac{a+b+c}{2}\).

Pole i promień okręgu wpisanego

\(P=rs\).

Równoległobok

Dwie pary boków równoległych.

Romb

Równoległobok o czterech równych bokach.

Prostokąt

Czworokąt o czterech kątach prostych.

Suma kątów wewnętrznych czworokąta

\(360^\circ\).

Pole równoległoboku

\(P=ah\).

Pole trapezu

\(P=\frac{(a+b)h}{2}\).

Pole rombu z przekątnych

\(P=\frac{d_1d_2}{2}\).

Jeden metr kwadratowy w centymetrach kwadratowych

\(10000\text{ cm}^2\).

Kąt środkowy między sąsiednimi wierzchołkami

\(\frac{360^\circ}{n}\).

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

\(\frac{(n-2)180^\circ}{n}\).

Pole z obwodu i apotemy

\(P=\frac{O\rho}{2}\).

Liczba przekątnych

\(\frac{n(n-3)}{2}\).

Okrąg

Punkty w odległości dokładnie \(r\) od środka.

Koło

Punkty w odległości nie większej niż \(r\) od środka.

Średnica i promień

\(d=2r\).

Cięciwa

Odcinek łączący dwa punkty okręgu.

Długość okręgu

\(L=2\pi r=\pi d\).

Pole koła

\(P=\pi r^2\).

Promień z długości okręgu

\(r=\frac{L}{2\pi}\).

Promień z pola koła

\(r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}\).

Kąt wpisany a środkowy na tym samym łuku

Wpisany ma połowę miary środkowego.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Mają równe miary.

Kąt wpisany oparty na średnicy

Ma \(90^\circ\).

Kąty wpisane po przeciwnych stronach tej samej cięciwy

Ich suma wynosi \(180^\circ\).

Dlaczego przy stycznej można użyć Pitagorasa?

Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc wraz z odcinkiem stycznym i odcinkiem do środka tworzy trójkąt prostokątny.

Co jest równe przy dwóch stycznych z jednego punktu?

Równe są długości odcinków od wspólnego punktu zewnętrznego do obu punktów styczności, a nie długości nieskończonych prostych.

Liczba punktów wspólnych stycznej z okręgiem

Jeden.

Długość odcinka stycznego PT

\(PT=\sqrt{OP^2-r^2}\), gdy O jest środkiem, a P punktem zewnętrznym.

Dlaczego środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych?

Punkty dwusiecznej są jednakowo odległe od ramion kąta, więc przecięcie dwusiecznych jest jednakowo odległe od trzech boków trójkąta.

Czy we wzorze \(P=rs\) używamy całego obwodu?

Nie. W \(P=rs\) symbol \(s=\frac{a+b+c}{2}\) oznacza półobwód, a r promień okręgu wpisanego.

Promień okręgu wpisanego

\(r=\frac Ps\).

Promień wpisany w trójkąt prostokątny

\(r=\frac{a+b-c}{2}\), gdzie c jest przeciwprostokątną.

Czym różnią się okrąg opisany i wpisany?

Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki trójkąta, a wpisany jest styczny do jego boków.

Kiedy promień okręgu opisanego jest połową boku?

W trójkącie prostokątnym promień jest połową przeciwprostokątnej, która jest średnicą okręgu.

Środek okręgu opisanego

Punkt przecięcia symetralnych boków.

Promień z boku i przeciwległego kąta

\(R=\frac a{2\sin\alpha}\).

Dlaczego we wzorze na pole wycinka dzielimy przez 360 stopni?

Pełne koło odpowiada pełnemu obrotowi, więc stosunek kąta wycinka do \(360^\circ\) określa udział jego pola w polu całego koła.

Czy wycinek i odcinek koła są tym samym?

Nie. Wycinek ograniczają dwa promienie i łuk, a odcinek koła cięciwa i łuk.

Pole wycinka dla kąta w stopniach

\(P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\).

Pole półkola

\(\frac12\pi r^2\).

Czy długość łuku obejmuje promienie?

Nie. Łuk biegnie wyłącznie po okręgu. Dwa promienie doliczamy przy obliczaniu obwodu zwykłego wycinka koła.

Czym łuk różni się od cięciwy?

Łuk jest fragmentem okręgu, a cięciwa prostym odcinkiem łączącym dwa punkty okręgu.

Długość łuku dla kąta w stopniach

\(l=\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi r\).

Długość półokręgu

\(\pi r\).

Kiedy w zadaniu praktycznym liczymy pole, a kiedy obwód?

Pole obliczamy dla powierzchni do pokrycia, np. podłogi. Obwód lub jego część liczymy dla brzegu, np. ogrodzenia.

Jak zaokrąglić liczbę opakowań materiału?

Jeśli kupujemy tylko całe opakowania, wybieramy najmniejszą liczbę całkowitą zapewniającą wystarczającą ilość materiału, czyli zaokrąglamy w górę.

Doliczenie 10% zapasu

Pomnóż wyjściową ilość przez \(1{,}1\).

Skala pól przy skali długości k

\(k^2\).