Fiszki – Geometria analityczna

W jakiej kolejności odczytujemy współrzędne?

Najpierw poziomą x, potem pionową y: \((x,y)\).

Gdzie leży II ćwiartka i jakie ma znaki?

Na górze po lewej: \(x\lt0\), \(y\gt0\).

Która współrzędna jest zerowa na osi Ox?

Druga, czyli \(y=0\).

Która współrzędna jest zerowa na osi Oy?

Pierwsza, czyli \(x=0\).

Jak odbić \((x,y)\) względem osi Ox, Oy oraz początku układu?

Odpowiednio: \((x,-y)\), \((-x,y)\), \((-x,-y)\).

Jakie są odległości punktu \((-3,2)\) od osi Ox i Oy?

Od osi Ox dwie jednostki, a od osi Oy trzy jednostki. Odległości są nieujemne.

Skąd bierze się wzór na odległość punktów?

Różnice współrzędnych opisują prostopadłe przesunięcia poziome i pionowe. Odcinek między punktami jest przeciwprostokątną pomocniczego trójkąta.

Czy odległość punktów może być ujemna?

Nie. Jest długością, więc jest nieujemna. Wynosi zero tylko dla dwóch identycznych punktów.

Odległość punktów

\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

Odległość przy jednakowym y

\(|x_2-x_1|\).

Czy równa odległość od końców wystarcza do wskazania środka odcinka?

Nie. Środek musi także leżeć na odcinku; inne punkty symetralnej również są równo odległe od jego końców.

Jak znaleźć brakujący koniec, znając środek i drugi koniec?

Podwój każdą współrzędną środka i odejmij odpowiednią współrzędną znanego końca.

Środek odcinka

\(S=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\).

Brakujący koniec B

\(B=(2x_S-x_A,2y_S-y_A)\).

Jak sprawdzić, czy punkt należy do prostej?

Podstaw obie współrzędne punktu do równania prostej i sprawdź, czy powstała równość jest prawdziwa.

Dlaczego prosta pionowa nie ma postaci kierunkowej?

Na prostej pionowej jednemu x odpowiada wiele wartości y, więc nie opisuje jej wzór \(y=ax+b\). Używamy równania \(x=c\).

Postać ogólna prostej

\(Ax+By+C=0\), gdzie \(A^2+B^2\gt0\).

Znaczenie b w \(y=ax+b\)

Prosta przecina oś Oy w punkcie \((0,b)\).

Kiedy dwa punkty wyznaczają jedną prostą?

Gdy są różne. Jeden punkt podany dwukrotnie nie wyznacza jednoznacznie kierunku prostej.

Co zrobić, gdy punkty mają jednakowe współrzędne x?

Dla dwóch różnych punktów prosta jest pionowa i ma równanie \(x=x_1\). Nie obliczamy nachylenia przez dzielenie przez zero.

Nachylenie przez dwa punkty

\(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), gdy \(x_1\ne x_2\).

Równanie punkt–nachylenie

\(y-y_1=a(x-x_1)\).

Co oznacza ujemny współczynnik kierunkowy?

Gdy x rośnie, y maleje. Na przykład przy \(a=-3\) wzrost x o jeden powoduje spadek y o trzy.

Czy prosta pionowa ma nachylenie zero?

Nie. Nachylenie zero ma prosta pozioma. Dla pionowej współczynnik kierunkowy nie istnieje.

Zmiana y z nachylenia

\(\Delta y=a\Delta x\).

Nachylenie a wyraz wolny

Nachylenie opisuje kierunek, a wyraz wolny położenie przecięcia z osią Oy.

Czy równe współczynniki kierunkowe zawsze oznaczają dwie różne proste?

Nie. Jeśli wyrazy wolne także są równe, równania opisują tę samą prostą. Różne wyrazy wolne dają dwie różne proste równoległe.

Jak sprawdzić równoległość prostych pionowych?

Dwie różne proste postaci \(x=c_1\) i \(x=c_2\) są równoległe. Nie potrzebujemy współczynników kierunkowych.

Równoległość różnych prostych kierunkowych

\(a_1=a_2\) oraz \(b_1\ne b_2\).

Wyznaczenie prostej równoległej przez punkt

Zachowaj a, a następnie oblicz b przez podstawienie punktu.

Czy wystarczy zmienić znak nachylenia, aby otrzymać prostopadłość?

Zwykle nie. Dla niezerowego nachylenia trzeba wziąć liczbę przeciwną do odwrotności: \(a_2=-\frac1{a_1}\).

Jak sprawdzić prostopadłość prostej poziomej i pionowej?

Taka para jest zawsze prostopadła. Nie stosujemy iloczynu nachyleń, bo pionowa nie ma współczynnika kierunkowego.

Warunek dla dwóch nachyleń

\(a_1a_2=-1\).

Nachylenie prostopadłe do 2

\(-\frac12\).

Dlaczego przyrównujemy prawe strony dwóch równań y?

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość y dla tego samego x, więc ich prawe strony muszą być równe.

Co oznacza sprzeczność po rozwiązaniu układu prostych?

Różne proste są równoległe i nie mają punktu wspólnego. Tożsamość oznacza natomiast pokrywające się proste.

Wynik zadania o przecięciu

Para \((x,y)\), a nie samo x.

Kontrola punktu przecięcia

Podstaw obie współrzędne do obu równań.

Dlaczego odległość punktu od prostej mierzymy prostopadle?

Jest to najkrótszy odcinek łączący punkt z prostą. Odcinek do innego punktu tej prostej byłby dłuższy.

Po co wartość bezwzględna we wzorze na odległość?

Wyrażenie po podstawieniu współrzędnych może mieć dowolny znak, ale odległość musi być nieujemna.

Odległość od \(Ax+By+C=0\)

\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

Odległość od prostej \(x=k\)

\(|x_0-k|\).

Jak odczytać środek z równania okręgu?

Porównaj nawiasy z \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Środek to \((a,b)\), więc znaki liczb w nawiasach odczytujemy przeciwnie.

Co oznacza liczba po prawej stronie równania okręgu?

Kwadrat promienia. Dla dodatniej wartości promień jest jej dodatnim pierwiastkiem kwadratowym.

Równanie okręgu

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), przy \(r\gt0\).

Równanie koła z brzegiem

\((x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2\).

Kiedy prosta jest styczna do okręgu?

Gdy jej prostopadła odległość od środka okręgu jest równa promieniowi. Wtedy istnieje jeden punkt wspólny.

Jak znaleźć współrzędne przecięć prostej z okręgiem?

Rozwiąż układ ich równań, np. podstawiając równanie prostej do równania okręgu. Samo porównanie odległości określa tylko liczbę przecięć.

d mniejsze od r

Sieczna: dwa punkty wspólne.

d większe od r

Brak punktów wspólnych.

Czy cztery równe boki dowodzą, że czworokąt jest kwadratem?

Nie. Dowodzą rombu; do kwadratu potrzebny jest jeszcze kąt prosty lub inna równoważna dodatkowa własność.

Dlaczego szkic nie wystarcza jako dowód?

Może nie zachowywać skali ani dokładnych kątów. Własności trzeba wyprowadzić ze współrzędnych i odpowiednich obliczeń.

Boki czworokąta ABCD

AB, BC, CD, DA.

Przekątne czworokąta ABCD

AC i BD.

Kiedy wysokość trójkąta jest równa wartości bezwzględnej współrzędnej y?

Gdy wybrana podstawa leży na osi Ox. Dla podstawy na \(y=k\) wysokość wynosi \(|y_0-k|\).

Dlaczego wzór na pole ze współrzędnych zawiera wartość bezwzględną?

Zmiana kierunku obchodzenia wierzchołków może zmienić znak wyrażenia, ale pole musi pozostać nieujemne.

Pole trójkąta z podstawy i wysokości

\(P=\frac{ah}{2}\).

Pole zero dla trzech punktów

Punkty są współliniowe i nie tworzą zwykłego trójkąta.