Fiszki – Funkcje

Argument funkcji

Dopuszczalna liczba wejściowa, którą podstawiamy do wzoru.

Wartość funkcji

Wynik przyporządkowany danemu argumentowi.

Warunek bycia funkcją

Każdy argument z zadanej dziedziny ma dokładnie jedną wartość.

Znaczenie \(f(5)=0\)

Dla argumentu \(5\) wynik wynosi \(0\); liczba \(5\) jest miejscem zerowym.

Punkt odpowiadający \(f(a)=b\)

\((a,b)\).

Warunek dla mianownika

Mianownik musi być różny od zera.

Warunek dla pierwiastka parzystego stopnia

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

Warunek dla argumentu logarytmu

Argument musi być dodatni, przy poprawnej podstawie logarytmu.

Dziedzina i zbiór wartości na osiach

Dziedzinę odczytujemy na osi \(x\), zbiór wartości na osi \(y\).

Zbiór wartości \(\frac1{x^2+1}\) przy \(x\in\mathbb R\)

\((0;1]\); wartość \(1\) jest osiągana, a \(0\) nie.

Znaczenie punktu \((a,b)\) na wykresie

\(f(a)=b\); argument to \(a\), wartość to \(b\).

Warunek \(f(x)\gt0\) na wykresie

Wykres leży ponad osią \(x\); w odpowiedzi podajemy odpowiadające argumenty.

Miejsce zerowe z wykresu

Argument punktu wykresu leżącego na osi \(x\).

Oś do odczytu przedziałów monotoniczności

Oś \(x\), ponieważ przedziały zawierają argumenty.

Puste i pełne kółko

Puste wyklucza dany punkt, pełne włącza go do wykresu.

Równanie do wyznaczania miejsc zerowych

\(f(x)=0\), z uwzględnieniem dziedziny.

Punkt wykresu odpowiadający miejscu zerowemu \(x_0\)

\((x_0,0)\).

Miejsce zerowe \(ax+b\), przy \(a\ne0\)

\(-\frac ba\), jeśli należy do dziedziny.

Kiedy ułamek ma wartość zero?

Gdy licznik jest równy zero, a mianownik różny od zera.

Miejsca zerowe funkcji \(f(x)=0\)

Wszystkie argumenty należące do jej dziedziny.

Funkcja rosnąca na przedziale

Dla każdej pary \(x_1\lt x_2\) z tego przedziału zachodzi \(f(x_1)\lt f(x_2)\).

Funkcja malejąca na przedziale

Dla każdej pary \(x_1\lt x_2\) z tego przedziału zachodzi \(f(x_1)\gt f(x_2)\).

Monotoniczność \(ax+b\) na \(\mathbb R\)

Rośnie dla \(a\gt0\), maleje dla \(a\lt0\), jest stała dla \(a=0\).

Maksymalne przedziały monotoniczności \(x^2\)

Maleje na \((-\infty;0]\), rośnie na \([0;+\infty)\).

Czy kilka par punktów dowodzi monotoniczności?

Nie. Warunek musi działać dla każdej pary argumentów z rozważanego przedziału.

Wierzchołek \((2,5)\) dający maksimum

Największa wartość to \(5\), osiągana dla argumentu \(2\).

Warunek osiągnięcia minimum \(m\)

Istnieje dozwolone \(x_0\) z \(f(x_0)=m\), a wszystkie wartości są co najmniej równe \(m\).

Minimum \(x^2\) na \(\mathbb R\)

\(0\), osiągane dla \(x=0\).

Minimum i maksimum funkcji stałej \(f(x)=7\)

Obie wartości wynoszą \(7\), na każdej niepustej dziedzinie.

Dodatnie wartości na wykresie

Wykres leży ponad osią \(x\).

Niedodatnie wartości

\(f(x)\le0\), czyli wartości ujemne lub zero.

Rozwiązanie \(x^2-4\lt0\)

\(x\in(-2;2)\).

Rozwiązanie \(x^2-4\ge0\)

\(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\).

Przesunięcie o wektor \([p,q]\)

\(g(x)=f(x-p)+q\).

Przesunięcie punktu \((u,v)\) o \([p,q]\)

\((u+p,v+q)\).

Wektor dla \(f(x+4)+1\)

\([-4,1]\).

Wierzchołek \((x-2)^2-3\)

\((2,-3)\).

Odbicie względem osi \(x\)

\(g(x)=-f(x)\).

Odbicie względem osi \(y\)

\(g(x)=f(-x)\).

Funkcja parzysta

Na symetrycznej dziedzinie spełnia \(f(-x)=f(x)\).

Funkcja nieparzysta

Na symetrycznej dziedzinie spełnia \(f(-x)=-f(x)\).

Wzór funkcji liniowej

\(f(x)=ax+b\).

Wzrost i spadek funkcji liniowej

Rośnie dla \(a\gt0\), maleje dla \(a\lt0\), jest stała dla \(a=0\).

Miejsce zerowe przy \(a\ne0\)

\(x_0=-\frac ba\), o ile należy do dziedziny.

Punkt na osi pionowej

\((0,b)\) dla pełnej dziedziny funkcji \(ax+b\).

Nachylenie z dwóch punktów

\(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), przy \(x_2\ne x_1\).

Zmiana wartości dla zmiany argumentu

\(\Delta y=a\Delta x\).

Współczynnik prostej poziomej

\(a=0\).

Związek z kątem nachylenia

\(a=\tan\alpha\), dla prostej niepionowej.

Prosta przez punkt przy znanym nachyleniu

\(y-y_0=a(x-x_0)\).

Prosta pionowa przez \((c,d)\)

\(x=c\).

Prosta pozioma przez \((c,d)\)

\(y=d\).

Postać ogólna prostej

\(Ax+By+C=0\), gdzie \(A,B\) nie są jednocześnie zerami.

Warunek równoległych kierunków prostych niepionowych

\(a_1=a_2\).

Warunek prostopadłości prostych niepionowych

\(a_1a_2=-1\).

Nachylenie prostopadłe do niezerowego \(a\)

\(-\frac1a\).

Prostopadła do \(y=5\) przez \((4,7)\)

\(x=4\).

Postać ogólna funkcji kwadratowej

\(ax^2+bx+c\), przy \(a\ne0\).

Kierunek ramion

W górę dla \(a\gt0\), w dół dla \(a\lt0\).

Argument wierzchołka

\(p=-\frac b{2a}\).

Liczba rzeczywistych zer na \(\mathbb R\)

Dwa dla \(\Delta\gt0\), jedno dla \(\Delta=0\), brak dla \(\Delta\lt0\).

Postać kanoniczna

\(a(x-p)^2+q\).

Postać iloczynowa przy rzeczywistych zerach

\(a(x-x_1)(x-x_2)\).

Rozwinięcie \((x-3)^2\)

\(x^2-6x+9\).

Postać kanoniczna \(x^2-4x+3\)

\((x-2)^2-1\).

Punkt na osi pionowej

\((0,c)\) dla \(ax^2+bx+c\).

Oś symetrii przy wierzchołku \((p,q)\)

\(x=p\).

Symetryczne argumenty względem osi

\(p-t\) i \(p+t\) dają tę samą wartość.

Wierzchołek \(-x^2+4\)

\((0,4)\).

Współrzędne wierzchołka

\(p=-\frac b{2a}\), \(q=f(p)\).

Drugi wzór na wysokość

\(q=-\frac{\Delta}{4a}\).

Wierzchołek \(a(x+5)^2-1\), \(a\ne0\)

\((-5,-1)\).

Argument wierzchołka z dwóch zer

\(p=\frac{x_1+x_2}{2}\).

Minimum paraboli na \(\mathbb R\) przy \(a\gt0\)

Wysokość wierzchołka \(q\).

Maksimum paraboli na \(\mathbb R\) przy \(a\lt0\)

Wysokość wierzchołka \(q\).

Kandydaci na \([L;R]\)

\(f(L)\), \(f(R)\) i \(f(p)\), jeśli \(p\in[L;R]\).

Maksimum \(x^2\) na \([-2;2]\)

\(4\), osiągane dla \(-2\) oraz \(2\).

Dziedzina \(\frac ax\), \(a\ne0\)

\(\mathbb R\setminus\{0\}\).

Zbiór wartości \(\frac ax\), \(a\ne0\)

\(\mathbb R\setminus\{0\}\).

Gałęzie przy \(a\gt0\)

I i III ćwiartka, bo współrzędne mają ten sam znak.

Współczynnik z punktu wykresu

\(a=xy\).

Punkt wspólny wykresów \(a^x\)

\((0,1)\).

Dziedzina i zbiór wartości \(a^x\)

\(\mathbb R\) i \((0;+\infty)\), przy \(a\gt0,\ a\ne1\).

Efekt zwiększenia argumentu o \(1\)

Pomnożenie wartości przez \(a\).

Wzrost o \(10\%\) co okres

\(P(n)=P_0\cdot1{,}1^n\).

Definicja logarytmu

\(\log_a x=y\Longleftrightarrow a^y=x\), przy \(a\gt0,\ a\ne1,\ x\gt0\).

Dziedzina i zbiór wartości logarytmu

\((0;+\infty)\) oraz \(\mathbb R\).

Miejsce zerowe \(\log_a x\)

\(1\).

Monotoniczność \(\log_a x\)

Rośnie dla \(a\gt1\), maleje dla \(0\lt a\lt1\).

Model opłaty stałej i jednostkowej

\(K(x)=b+ax\).

Znaczenie \(K(12)=44\) w modelu taksówki

Kurs długości \(12\) km kosztuje \(44\) zł przy ustalonym cenniku.

Dziedzina opróżniania \(V(t)=120-8t\)

\(t\in[0;15]\), gdy czas mierzymy w minutach, a objętość w litrach.

Pole prostokąta o obwodzie \(20\)

\(P(x)=x(10-x)\), przy \(0\lt x\lt10\).