Fiszki – Dowody matematyczne

Czy przykład liczbowy może obalić twierdzenie ogólne?

Tak, jeśli spełnia założenia i przeczy tezie. Natomiast kilka zgodnych przykładów nie dowodzi twierdzenia dla wszystkich wartości.

Dlaczego zapis \(5m\) wymaga doprecyzowania?

Aby dowodził podzielności całkowitej przez pięć, trzeba wykazać, że m jest liczbą całkowitą.

Co sprawdzić przed dzieleniem przez wyrażenie?

Że jest niezerowe; inaczej trzeba osobno rozpatrzyć przypadek zerowy.

Dlaczego kwadrat pomaga w nierówności?

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Dlaczego czynnik k musi być całkowity?

Tylko wtedy zapis \(a=mk\) dowodzi podzielności liczby całkowitej przez m. Ułamkowy czynnik nie wystarcza.

Czy podzielność przez dwa i trzy daje podzielność przez sześć?

Tak, ponieważ dwa i trzy są względnie pierwsze. Analogiczny wniosek dla dowolnych dwóch dzielników wymaga sprawdzenia ich wspólnych czynników.

Jak czytamy \(m\mid a\)?

m dzieli a, czyli a jest wielokrotnością m.

Czy zero jest podzielne przez pięć?

Tak, ponieważ \(0=5\cdot0\).

Czy liczby ujemne też są parzyste albo nieparzyste?

Tak, jeśli są całkowite. Na przykład minus cztery jest parzyste, a minus trzy nieparzyste.

Dlaczego używamy dwóch parametrów?

Aby nie założyć nieświadomie, że rozpatrywane liczby są równe.

Jaka jest suma dwóch nieparzystych?

Parzysta.

Jaki jest iloczyn dwóch nieparzystych?

Nieparzysty.

Skąd bierze się składnik \(2ab\)?

Z dwóch iloczynów ab powstających przy mnożeniu obu nawiasów.

Kiedy lepiej rozłożyć wyrażenie na czynniki?

Gdy chcemy ujawnić dzielnik, miejsca zerowe lub znak iloczynu. Przy porównywaniu sum często wygodniejsze jest rozwinięcie.

Różnica kwadratów?

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Jak zapisać \(x^2+6x+10\) przez kwadrat?

\((x+3)^2+1\).

Czym dowód różni się od rozwiązania nierówności?

Dowód uzasadnia jej prawdziwość w całej zadanej dziedzinie, a rozwiązywanie wyznacza argumenty, dla których zachodzi.

Dlaczego trzeba wskazać przypadek równości?

Pokazuje, kiedy oszacowanie jest osiągane; zwykle wynika z wyzerowania nieujemnego kwadratu.

Co robimy przy mnożeniu przez liczbę ujemną?

Odwracamy zwrot nierówności.

Czy nieujemny znaczy dodatni?

Nie. Wartość nieujemna może być zerem.

Czy mogę mierzyć odcinki linijką, żeby zakończyć dowód?

Nie. Pomiar dotyczy jednego szkicu, a dowód ma wynikać z ogólnych danych i twierdzeń.

Co sprawdzić przed zastosowaniem Pitagorasa?

Czy wskazany trójkąt jest prostokątny i który bok jest przeciwprostokątną.

Co daje podobieństwo?

Równe odpowiednie kąty i proporcjonalne odpowiednie boki.

Co daje przystawanie?

Równe długości i kąty odpowiadających elementów.

Czy kwadrat jest prostokątem?

Tak. Ma wszystkie kąty proste, a dodatkowo wszystkie boki równe.

Czy same równe przekątne rozpoznają prostokąt?

Nie wśród dowolnych czworokątów. Wystarczają, jeśli wiadomo już, że figura jest równoległobokiem.

Co oznacza wzajemne dzielenie przekątnych na połowy?

Punkt przecięcia jest środkiem każdej z nich.

Jak rozpoznać kwadrat wśród prostokątów?

Wystarczy wykazać równość sąsiednich boków.

Czy trzeba pisać „co należało dowieść”?

Nie jest to konieczne. Ważne, aby końcowy uzasadniony wniosek dokładnie odpowiadał tezie.

Czy można badać tezę w brudnopisie?

Tak, ale gotowy dowód musi zawierać poprawne wnioskowanie lub uzasadnione równoważności, a nie przyjęcie tezy za fakt.

Co to jest błędne koło?

Użycie dowodzonego zdania jako uzasadnienia jego własnej prawdziwości.

Co zrobić z nowym oznaczeniem?

Wyjaśnić jego znaczenie i dopuszczalne wartości.