Fiszki – Ciągi liczbowe

Znaczenie \(a_4\)

Czwarty wyraz przy standardowym numerowaniu od \(1\).

Typowe indeksy ciągu nieskończonego

\(1,2,3,\ldots\), jeśli nie podano innej konwencji.

Ciąg skończony o \(N\) wyrazach

Ma indeksy \(1,\ldots,N\), przy numerowaniu od \(1\).

Rekurencja potrzebuje

Reguły tworzenia następnych wyrazów i odpowiednich warunków początkowych.

Wzór jawny

Pozwala obliczyć wyraz z indeksu bez znajomości poprzednich wartości.

Dopuszczalny indeks przy numerowaniu od \(1\)

Dodatnia liczba całkowita, z ewentualnym górnym ograniczeniem.

Indeks wartości \(41\) w \(3n-1\)

\(n=14\).

Liczba przejść od pierwszego do n-tego wyrazu

\(n-1\).

Wartość \((-2)^3\)

\(-8\).

Różnica między \((-2)^2\) i \(-2^2\)

Pierwsza wartość to \(4\), druga \(-4\).

Liczba przejść od \(a_1\) do \(a_4\)

Trzy.

Dla \(a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n-1\)

\(a_2=3,\ a_3=5,\ a_4=9\).

Co oznacza \(a_{n+1}\)?

Następny wyraz po \(a_n\), a nie wartość \(a_n+1\).

Jak wykazać, że ciąg rośnie?

Udowodnić \(a_{n+1}-a_n\gt0\) dla każdego dopuszczalnego indeksu.

Jaki znak różnicy oznacza spadek?

\(a_{n+1}-a_n\lt0\).

Czy kilka wyrazów dowodzi monotoniczności całego ciągu?

Nie. Dla nieskończonego ciągu potrzebny jest argument obejmujący wszystkie indeksy.

Reguła przejścia w ciągu arytmetycznym

\(a_{n+1}=a_n+r\).

Jak obliczyć różnicę?

\(r=a_{n+1}-a_n\).

Co oznacza \(r=0\)?

Ciąg jest stały.

Środkowy z trzech kolejnych wyrazów arytmetycznych

Jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

Różnica z sąsiednich wyrazów

Następny wyraz minus poprzedni.

Różnica z \(a_i\) i \(a_j\)

\(r=\frac{a_j-a_i}{j-i}\) dla \(j\gt i\).

Przejście wstecz

\(a_n=a_{n+1}-r\).

Znak różnicy ciągu malejącego

Ujemny.

Wzór na wyraz arytmetyczny

\(a_n=a_1+(n-1)r\).

Wzór od znanego \(a_k\)

\(a_n=a_k+(n-k)r\).

Ile przejść dzieli pierwszy i ósmy wyraz?

\(7\).

Jakie wartości może przyjmować numer wyrazu?

Dodatnie liczby całkowite przy numeracji od jednego.

Suma arytmetyczna ze skrajnych wyrazów

\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2\).

Suma arytmetyczna z różnicy

\(S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)r)\).

Liczba wyrazów od \(a_i\) do \(a_j\) włącznie

\(j-i+1\) dla \(j\geq i\).

Średnia pierwszych \(n\) wyrazów arytmetycznych

\(\frac{a_1+a_n}2\).

Reguła ciągu geometrycznego

\(a_{n+1}=qa_n\).

Iloraz przy niezerowym poprzednim wyrazie

\(q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\).

Co robi ujemny iloraz?

Zmienia znak każdego kolejnego niezerowego wyrazu.

Warunek dla trzech kolejnych wyrazów geometrycznych

Kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych.

Iloraz sąsiadów

\(q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\), jeśli \(a_n\neq0\).

Zależność odległych wyrazów

\(a_j=a_iq^{j-i}\) dla \(j\gt i\).

Co gubi parzysta potęga?

Znak podstawy.

Ile mnożeń jest od \(a_3\) do \(a_9\)?

\(9-3=6\).

Wzór geometryczny

\(a_n=a_1q^{n-1}\), z osobnym przyjęciem pierwszego wyrazu, gdy \(q=0\).

Zależność od znanego wcześniejszego wyrazu

\(a_n=a_kq^{n-k}\) dla \(n\gt k\).

Znak parzystej potęgi ujemnego ilorazu

Dodatni.

Co oznacza \(q^4\)?

Cztery czynniki \(q\) pomnożone przez siebie.

Suma geometryczna dla \(q\neq1\)

\(S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\).

Równoważna postać sumy

\(S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(q\neq1\).

Suma przy \(q=1\)

\(S_n=na_1\).

Co oznacza \(S_n\)?

Sumę pierwszych \(n\) wyrazów.

„Co tydzień o dziesięć więcej”

Stała różnica \(r=10\).

„Co godzinę dwa razy tyle”

Stały iloraz \(q=2\).

„Osiem procent więcej aktualnej wartości”

Mnożnik \(1{,}08\).

Pytanie o łączną kwotę kolejnych wpłat bez odsetek

Oblicz sumę wpłat, a nie tylko ostatnią wpłatę.

Mnożnik wzrostu o \(p\%\)

\(1+\frac p{100}\).

Mnożnik spadku o \(p\%\)

\(1-\frac p{100}\).

Wzór procentu składanego

\(K_n=K_0(1+\frac p{100})^n\).

Co oznacza \(n\) w procentach składanych?

Liczbę pełnych okresów od stanu początkowego.

Liczba kapitalizacji miesięcznych w roku

\(12\).

Liczba kapitalizacji półrocznych w roku

\(2\).

Stopa okresowa z nominalnej rocznej \(p\%\)

\(\frac p m\%\), gdy w roku jest \(m\) okresów.

Liczba okresów przez \(t\) lat

\(mt\), gdy rocznie jest \(m\) kapitalizacji.